Geometria Analítica: Área de Região Relvada (Matemática B 11º Ano Exame 2008)

Pretende-se fazer um canteiro, no jardim de uma escola, com a forma de um quadrado de 7 metros de lado.
A figura 1 representa um projecto desse canteiro, designado por [ABCD], em que a região sombreada representa a zona que se pretende relvar, e o quadrado [EFGH] representa o local destinado a plantar roseiras.
Tem-se, em metros:
AE = FB = GC = HD = x
Mostre que a área, a, da região relvada, em metros quadrados, é dada, em função de x, por a(x) = 14x - 2x².
Calcule a(0) e interprete o valor obtido no contexto da situação descrita.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos: 1.º processo Determinar uma expressão que dá a área do quadrado [EFGH] .... (x² + (7 – x)²).... 5 Simplificar a expressão anterior (2x² – 14x + 49) .... 4 Determinar a expressão que dá a área da região relvada (49 - (2x² - 14x + 49) ou 14x - 2x²) .... 5 Calcular a (0) .... 2 Interpretar o valor obtido .... 4 («Quando x é zero, todo o canteiro passa a ser destinado a plantar roseiras, pelo que deixa de existir zona destinada a ser relvada.») 2.º processo Determinar uma expressão que dá a área de cada triângulo rectângulo .. x(7-x)/2 .... 7 Determinar a expressão que dá a área da região relvada 4 × x(7-x)/2 = 14x - 2x² .... 7 Calcular a (0) .... 2 Interpretar o valor obtido .... 4