Números Complexos: Raízes Quartas e Forma Trigonométrica | Matemática A 12º Ano 2008

Em C, conjunto dos números complexos, considere z_1 = 1- i (i designa a unidade imaginária).
Considere z_1 uma das raízes quartas de um certo número complexo z.
Determine uma outra raiz quarta de z, cuja imagem geométrica é um ponto pertencente ao 3.
º quadrante.
Apresente o resultado na forma trigonométrica.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, três processos: 1.º processo: Representar, no plano complexo, as imagens geométricas das raízes quartas de z (sendo uma delas 1 – i) - 6 pontos Concluir que a raiz quarta pedida é $-1 - i$ - 3 pontos Escrever $-1 - i$ na forma trigonométrica - 6 pontos (Calcular $|-1 - i|$ - 2 pontos; Calcular um argumento de $-1 - i$ - 3 pontos; Escrever na forma trigonométrica - 1 ponto) 2.º processo: Calcular $|z_1|$ - 2 pontos Calcular um argumento de $z_1$ - 3 pontos Determinar a raiz quarta pedida: $z_2 = \sqrt{2}\text{cis} (\frac{5\pi}{4})$ ou equivalente - 10 pontos (Reconhecer que $|z_2|=|z_1|$ - 2 pontos; Calcular um argumento de $z_2$, utilizando uma propriedade das raízes índice n de um número complexo - 7 pontos; Escrever $z_2$ na forma trigonométrica - 1 ponto) 3.º processo: Calcular $|z_1|$ - 2 pontos Calcular um argumento de $z_1$ - 3 pontos Escrever $z_1$ na forma trigonométrica - 1 ponto Determinar $z$, usando a potência $(z_1)^4$ - 3 pontos Escrever a expressão geradora das raízes quartas de z - 2 pontos Determinar a raiz quarta pedida: $z_2 = \sqrt{2}\text{cis} (\frac{5\pi}{4})$ ou equivalente - 4 pontos