Matemática A 12º Ano: Estudo da Monotonia de Funções Trigonométricas (Exame 2008)

Considere a função g, de domínio R, definida por g(x) = 2 + sen(4x).
Resolva, usando métodos analíticos, os dois itens seguintes.
Nota:
A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais.
Estude a monotonia da função g, no intervalo [0, π/2], indicando o valor dos extremos relativos, caso existam, e os intervalos de monotonia.

Determinar $g'(x)$ - 2 pontos Determinar os zeros de $g'$ - 4 pontos (Escrever a equação $g'(x) = 0$ - 1 ponto; Determinar a expressão geral dos zeros de $g'$, $x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}, k \in \mathbb{Z}$ - 1 ponto; Indicar os zeros de $g'$ no intervalo $[0, \frac{\pi}{2}]: 0, \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}$ e $\frac{\pi}{2}$ - 2 pontos) Estudar o sinal de $g'$ e consequente conclusão, relativamente à monotonia e extremos relativos de $g$ no intervalo $[0, \frac{\pi}{2}]$, com recurso a um quadro - 5 pontos (Primeira linha do quadro (relativa à variável $x$, de acordo com o intervalo em estudo) - 2 pontos; Sinal de $g'$ - 2 pontos; Relação entre o sinal de $g'$ e a monotonia de $g$ - 1 ponto) Determinar os extremos relativos (1 e 3) - 2 pontos Indicar os intervalos de monotonia (ver nota) - 2 pontos Nota: A resposta correcta é indicar os intervalos $[0, \frac{\pi}{8}]$ e $[\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{2}]$, para intervalos onde a função é monótona crescente e indicar o intervalo $[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}]$ para intervalo onde a função é monótona decrescente. No entanto, é de aceitar, sem qualquer desvalorização, os intervalos $[0, \frac{\pi}{8}]$ e $[\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{2}]$ para intervalos onde a função é monótona crescente e o intervalo $[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}]$ para intervalo onde a função é monótona decrescente.