Análise de Funções Exponenciais: Crescimento de Árvores (Matemática B 11º Ano 2009)

4.
No parque natural, foram plantadas, num certo momento, duas árvores, uma da espécie P e outra da espécie C.
Admita que as alturas, em metros, da árvore da espécie P e da árvore da espécie C, x anos depois de terem sido plantadas, são dadas, aproximadamente, por P(x) e C(x):
Espécie P:
P(x) = 10 / (1 + 12,5e⁻⁰,²³ˣ) Espécie C:
C(x) = 6 / (1 + 2,9e⁻⁰,¹²ˣ) Com base nas funções apresentadas, alguém afirmou que:
I) quando as árvores foram plantadas, a árvore da espécie P tinha menos 1,1 m de altura do que a árvore da espécie C; II) foram necessários mais do que oito anos para que a árvore da espécie P ficasse mais alta que a árvore da espécie C; III) com o decorrer do tempo, a diferença entre as alturas das duas árvores tenderá a igualar os 4 m.
Elabore uma pequena composição na qual refira se cada uma das afirmações, I), II) e III), está, ou não, correcta, explicitando, para cada caso, uma razão que fundamente a sua resposta.

Apresenta-se, a seguir, um exemplo de resposta: «A afirmação I) é falsa, porque, quando foram plantadas, as árvores das espécies P e C tinham, respectivamente, 0,74 m e 1,54 m, aproximadamente, pelo que a diferença entre as alturas das duas árvores era de 0,8 m e não de 1,1m. A afirmação II) é falsa, porque a abcissa do ponto de intersecção dos gráficos das duas funções tem um valor aproximado de 6,3 anos e é a partir desse instante que a árvore da espécie P fica mais alta do que a árvore da espécie C. A afirmação III) é verdadeira, pois, atendendo às expressões apresentadas, conclui-se que o gráfico da função P tem uma assimptota horizontal de equação y = 10 e que o gráfico da função C tem uma assimptota horizontal de equação y = 6. No contexto do problema, conclui-se que, com o decorrer do tempo, a altura da árvore da espécie P tenderá para 10 m, e a da espécie C para 6 m, pelo que a diferença de alturas tenderá para 4 m.» Como o exemplo ilustra, a composição deve abordar os seguintes tópicos: • uma razão que mostre que a afirmação I) é falsa; • uma razão que mostre que a afirmação II) é falsa; • uma razão que mostre que a afirmação III) é verdadeira (ver nota). Na tabela seguinte, indica-se como deve ser classificado este item, de acordo com os níveis de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa descritos nos critérios gerais e com os níveis de desempenho no domínio específico da disciplina.

	Descritores do nível de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa	Níveis*
Descritores do nível de desempenho no domínio específico da disciplina		1	2	3
Níveis**	3	A composição aborda, correctamente, os três tópicos.	18	19	20
	2	A composição aborda, correctamente, apenas dois tópicos.	12	13	14
	1	A composição aborda, correctamente, apenas um tópico.	6	7	8

* Descritores apresentados nos critérios gerais. ** Apenas podem ser atribuídas classificações correspondentes a um dos valores constantes do quadro. Não há lugar a classificações intermédias. No caso de a resposta não atingir o nível 1 de desempenho no domínio específico da disciplina, a classificação a atribuir é de zero pontos. Neste caso, não é classificado o desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa. Nota: Relativamente ao terceiro tópico da composição, a simples utilização de uma tabela não prova, por si, que a diferença de alturas entre as duas árvores tenda para 4 m.