Números Complexos: $z_1$ na Forma Trigonométrica | Mat A 12º Ano (2009)

Em C, conjunto dos números complexos, considere z1 = (i / (1 - i))^18 e z2 = cis(5π/6).
Determine z1 na forma trigonométrica, sem recorrer à calculadora.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos: 1.º processo Calcular $z_1$ na forma algébrica ..................................................................... 8 pontos Apresentam-se duas possíveis resoluções para o cálculo de $z_1$: Calcular $i^{18}$ ($i^{18} = -1$) ................................................................................. 1 ponto Calcular $\frac{i}{1-i}+1$ $\left(\frac{i}{1-i}+1 = \frac{1}{1-i}\right)$ ................................................................. 3 pontos Calcular $\frac{1}{1-i}$ $\left(\frac{1}{1-i} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\right)$ .................................................................... 4 pontos Multiplicar ambos os termos da fracção por $1+i$ ... 2 pontos Restantes cálculos .................................................... 2 pontos OU Calcular $i^{18}$ ($i^{18} = -1$) ................................................................................. 1 ponto Calcular $\frac{i}{1-i}$ $\left(\frac{i}{1-i} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\right)$ ............................................................ 5 pontos Multiplicar ambos os termos da fracção por $1+i$ ... 2 pontos Restantes cálculos .................................................... 3 pontos Calcular $-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i + 1$ $\left(1 + \frac{1}{2}i\right)$ ......................................................... 2 pontos Calcular $z_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$ na forma trigonométrica (ver nota) ............................. 7 pontos Calcular o módulo $\left(\rho = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ ou equivalente}\right)$ ..................................... 3 pontos Indicar um argumento $\left(\theta = \frac{\pi}{4}\right)$ .................................................................. 3 pontos Escrever $z_1$ na forma trigonométrica $\left(z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{cis}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$ .................... 1 ponto Nota: Esta etapa segue-se a qualquer uma das duas resoluções para o cálculo de $z_1$ na forma algébrica, apresentadas anteriormente. 2.º processo Calcular $i^{18}$ ($i^{18} = -1$) ................................................................................. 1 ponto Calcular $\frac{i}{1-i} + 1$ $\left(\frac{i}{1-i} + 1 = \frac{1}{1-i}\right)$ ................................................................. 3 pontos Calcular $\frac{1}{1-i}$ na forma trigonométrica............................................................ 11 pontos Escrever $1 = \text{cis}(0)$ .......................................................................... 2 pontos Calcular $1-i$ na forma trigonométrica ................ $(2+2+1)$ ........... 5 pontos Escrever $\frac{1}{1-i} = \frac{\text{cis}(0)}{\sqrt{2} \text{cis}\left(-\frac{\pi}{4}\right)}$ ................................................................. 1 ponto Efectuar a divisão na forma trigonométrica .............................................. 2 pontos Escrever $z_1$ na forma trigonométrica $\left(z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{cis}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$ .................... 1 ponto