Matemática A 12º Ano: Bolzano para Existência de Zeros | Exame Nacional 2009

Considere a função g, de domínio R+, definida por g(x) = e^(2x) + ln x .
Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que a função g tem, pelo menos, um zero no intervalo ]0,1; 0,3[.
Nota:
A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos.

Referir que a função $g$ é contínua em $[0,1; 0,3]$ (ver nota 1) .................... 3 pontos Calcular $g(0,1)$ ........................................................................................... 2 pontos Calcular $g(0,3)$ ........................................................................................... 2 pontos Concluir que $g(0,1) < 0 < g(0,3)$ (ou referir que $g(0,1)$ e $g(0,3)$ têm sinais contrários) ......................................................................................... 3 pontos Concluir o pretendido (ver nota 2) ............................................................. 5 pontos Notas: 1. Se o examinando não referir a continuidade da função no intervalo $[0,1; 0,3]$, mas afirmar que a função é contínua em todo o seu domínio, a classificação a atribuir a esta etapa não deve ser desvalorizada. 2. Se o examinando não referir que a conclusão resulta do Teorema de Bolzano ou do seu corolário, a classificação a atribuir a esta etapa deve ser desvalorizada em um ponto.