Máximo de Função Logarítmica - Matemática A 12º Ano | Exame 2009

Numa certa zona de cultivo, foi detectada uma doença que atinge as culturas.
A área afectada pela doença começou por alastrar durante algum tempo, tendo depois começado a diminuir.
Admita que a área, em hectares, afectada pela doença, é dada, em função de t, por A(t) = 2 - t + 5 ln(t + 1), sendo t (0 ≤ t ≤ 16) o tempo, em semanas, decorrido após ter sido detectada essa doença.
Resolva, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, os dois itens seguintes.
Determine a área máxima afectada pela doença.
Apresente o resultado em hectares, arredondado às centésimas.

Calcular A'(t) (A'(t) = −1 + 5/(t+1)) .................................................................... 3 pontos Determinar o zero de A' .......................................................................................... 4 pontos Escrever A'(t) = 0 ................................................................................ 1 ponto Resolver a equação (t = 4) ..................................................................... 3 pontos Estudar o sinal de A' e consequente conclusão, relativamente ao extremo relativo de A, com recurso a um quadro (ver nota) ................................. 3 pontos Primeira linha do quadro (relativa à variável t) ...................................... 1 ponto Sinal de A' ............................................................................................. 1 ponto Relação entre o sinal de A' e a monotonia de A .................................... 1 ponto Determinar a área máxima afectada pela doença (A = 6,05 ha) ............................... 5 pontos Nota: Se o examinando não recorrer a um quadro, mas apresentar uma justificação equivalente, a classificação a atribuir a esta etapa não deve ser desvalorizada.