Matemática B 11.º Ano: Progressões Aritméticas em Contexto (Exame 2010)

A autarquia encomendou a uma empresa de tecelagem o fabrico de uma tapeçaria de grandes dimensões, para decorar o salão nobre do novo edifício dos paços do concelho.
A Figura 1 representa, esquematicamente, o projecto da parte central da tapeçaria.
A Figura 2 representa, ordenadamente, os quatro primeiros elementos da sequência finita de linhas poligonais fechadas, utilizada no projecto de concepção da tapeçaria.
Ao longo de toda a sequência, que tem mais de 30 elementos, de cada linha poligonal para a seguinte, o número de lados aumenta de forma constante.
Tal como se pode observar na Figura 2, as linhas poligonais I, II, III e IV têm, respectivamente, 4, 20, 36 e 52 lados.
Mostre que, nesta sequência, nenhuma das linhas poligonais tem 456 lados.

Concluir que 456 não é termo da sequência Nota – Em vez de 52, o examinando pode utilizar outros termos da sequência do número de lados das linhas poligonais, por exemplo, 4, 20 ou 36. Assim, pode calcular o valor de um dos quocientes 456-4/16 ou 456-20/16 ou 456-36/16 e referir que o seu valor não é um número natural.