Probabilidade Condicional (12.º Ano) - Exame Matemática A 2010 (1.ª Fase)

Dos alunos de uma escola, sabe-se que:

• a quinta parte dos alunos tem computador portátil;
• metade dos alunos não sabe o nome do director;
• a terça parte dos alunos que não sabe o nome do director tem computador portátil.
Determine a probabilidade de um aluno dessa escola, escolhido ao acaso, não ter computador portátil e saber o nome do director.
Apresente o resultado na forma de \fracção irredutível.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, quatro processos: No que se segue, vamos designar por A o acontecimento «o aluno tem computador portátil» e por B o acontecimento «o aluno sabe o nome do director». Podem ser admitidas outras designações para os acontecimentos. 1.° Processo: $$ \text{Escrever } P(A) = \frac{1}{5} \ldots 1 \text{ ponto} $$ $$ \text{Escrever } P(\overline{B}) = \frac{1}{2} \text{ ou } P(B) = \frac{1}{2} \ldots 1 \text{ ponto} $$ $$ \text{Escrever } P(A | \overline{B}) = \frac{1}{3} \ldots 1 \text{ ponto} $$ $$ \text{Calcular } P(A \cap \overline{B}) = \frac{1}{6} \ldots 4 \text{ pontos} $$ $$ \text{Calcular } P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \frac{1}{30} \text{ (ou } P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \frac{1}{3}) \ldots 4 \text{ pontos} $$ $$ \text{Calcular o valor pedido } P(\overline{A} \cap B) = \frac{7}{15} \ldots 4 \text{ pontos} $$ 2.° Processo: $$ \text{Escrever } P(A) = \frac{1}{5} \ldots 1 \text{ ponto} $$ $$ \text{Escrever } P(\overline{B}) = \frac{1}{2} \text{ ou } P(B) = \frac{1}{2} \ldots 1 \text{ ponto} $$ $$ \text{Escrever } P(A | \overline{B}) = \frac{1}{3} \ldots 1 \text{ ponto} $$ $$ \text{Calcular } P(A \cap \overline{B}) = \frac{1}{30} \ldots 4 \text{ pontos} $$ $$ \text{Calcular } P(A | B) = \frac{1}{15} \ldots 2 \text{ pontos} $$ $$ \text{Calcular } P(\overline{A} | \overline{B}) = \frac{14}{15} \ldots 2 \text{ pontos} $$ $$ \text{Calcular o valor pedido } P(\overline{A} \cap B) = \frac{7}{15} \ldots 4 \text{ pontos} $$ 3.º Processo: $$ \text{Escrever } P(\overline{A} \cap B) = P(B) – P(A \cap B) \ldots 6 \text{ pontos} $$ $$ \text{Escrever } P(\overline{B})=\frac{1}{2} \text{ ou } P(B)=\frac{1}{2} \ldots 1 \text{ ponto} $$ $$ \text{Calcular } P(A \cap \overline{B}) = \frac{1}{30} \ldots 4 \text{ pontos} $$ $$ \text{Calcular o valor pedido } P(\overline{A} \cap B) = \frac{7}{15} \ldots 4 \text{ pontos} $$ 4.º Processo: Seja N o número de alunos da escola. $$ \text{Referir que o número de alunos que têm computador portátil é } \frac{N}{5} \ldots 1 \text{ ponto} $$ $$ \text{Referir que o número de alunos que não têm computador portátil é } \frac{4N}{5} \ldots 1 \text{ ponto} $$ $$ \text{Referir que o número de alunos que não sabem o nome do director é } \frac{N}{2} \ldots 1 \text{ ponto} $$ $$ \text{Referir que } \frac{1}{3} \times \frac{N}{2} = \frac{N}{6} \text{ é o número de alunos que não sabem o nome} \text{ do director e têm computador portátil } \ldots 4 \text{ pontos} $$ $$ \text{Referir que há } \frac{N}{2} - \frac{N}{6} = \frac{N}{3} \text{ alunos que não têm computador portátil e não} \text{ sabem o nome do director } \ldots 4 \text{ pontos} $$ Referir que o número de alunos que não têm computador portátil e sabem o nome do director é $\frac{4N}{5} - \frac{7N}{15}$ ...................................................................... 2 pontos Concluir que o valor pedido é $\frac{7}{15}$ ............................................................................ 2 pontos