Matemática A 12.º Ano: Logaritmos e Vendas de Bilhetes (Exame 2010)

Na Internet, no dia 14 de Outubro de 2009, pelas 14 horas, colocaram-se à venda todos os bilhetes de um espectáculo.
O último bilhete foi vendido cinco horas após o início da venda.
Admita que, t horas após o início da venda, o número de bilhetes vendidos, em centenas, é dado, aproximadamente, por N(t) = 8log₄(3t + 1)³ – 8log₄(3t+1), t ∈ [0, 5].
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Determine quanto tempo foi necessário para vender 2400 bilhetes.
Apresente o resultado em horas e minutos.
Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais, apresentando os minutos arredondados às unidades.

Escrever $N(t) = 24$ (ver nota 1)................................................................................. 3 pontos Resolver a equação $N(t) = 24$ ............................................................................... 8 pontos $$ \text{Escrever } \log_{4}(3t+1) = \frac{3}{2} \ldots 2 \text{ pontos} $$ $$ \text{Escrever } 3t + 1 = 4^{\frac{3}{2}} \ldots 4 \text{ pontos} $$ $$ \text{Escrever } t=\frac{-1+4^{\frac{3}{2}}}{3} \text{ (ou equivalente)} \ldots 2 \text{ pontos} $$ Calcular o valor de $t$, em horas e minutos ($t = 2$ horas e 20 minutos) (ver notas 2 e 3) ..................................................................................................... 4 pontos Notas: 1. Caso o examinando escreva $N(t) = 2400$, a pontuação a atribuir, nesta etapa, deve ser desvalorizada em 2 pontos. 2. A pontuação relativa a esta etapa só é atribuída se na etapa anterior não tiverem sido atribuídos zero pontos. 3. Se o examinando concluir que os 2400 bilhetes estavam vendidos ao fim de cerca de 2 horas e 20 minutos, a pontuação a atribuir, nesta etapa, não deve ser desvalorizada.