Matemática A (635) 12º Ano | Estudo da Monotonia com Calculadora (2010)

Considere uma função f, de domínio ]0, 3[, cuja derivada f', de domínio ]0, 3[, é definida por f'(x) = e^x - (1/x).
Estude a função f quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora.
Na sua resposta, deve:

• reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
• indicar os intervalos de monotonia da função f;
• assinalar e indicar as coordenadas dos pontos relevantes, com arredondamento às centésimas.

Representar graficamente a função $f'$ (ver nota 1) ................................................. 4 pontos Assinalar, no gráfico, o zero de $f'$ ($x \approx 0,57$) ..................................................... 2 pontos Estudar o sinal de $f'$, com recurso a um quadro (ver nota 2)............................... 5 pontos Primeira linha do quadro ....................................................................................... 1 ponto Sinal de $f'$ ........................................................................................................... 2 pontos Relação entre o sinal de $f'$ e a monotonia de $f$ ................................................ 2 pontos Indicar os intervalos de monotonia de $f$ ............................................................... 2 pontos Referir a existência do extremo de $f$ .................................................................... 2 pontos Notas: 1. Se o examinando representar graficamente a função $f'$ num intervalo diferente de $]0, 3[$, a pontuação a atribuir, nesta etapa, é de 2 pontos. 2. Se o examinando não recorrer a um quadro, mas apresentar uma justificação equivalente, a pontuação a atribuir, nesta etapa, não deve ser desvalorizada.