Assíntota Oblíqua em Função Definida por Ramos - Matemática A 12º Ano 2010

Considere a função f, de domínio ] - ∞, 2π], definida por f(x) = {ax + b + e^x se x ≤ 0; (x - sen(2x)) / x se 0 < x ≤ 2π} com a, b ∈ IR.
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Prove que a recta de equação y = ax + b, com a ≠ 0, é uma assimptota oblíqua do gráfico de f.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos: 1.º Processo: Referir que a recta $y = ax + b$ é assimptota do gráfico de $f$, se $\lim_{x\to-\infty} (f(x) - (ax + b)) = 0$ ......................................................................... 5 pontos Calcular $\lim_{x\to-\infty} (f(x) – (ax + b))$ ....................................................................... 10 pontos $$ \text{Escrever } \lim_{x\to-\infty} ((ax + b + e^{x}) – (ax + b)) \ldots 3 \text{ pontos} $$ $$ \text{Obter } \lim_{x\to-\infty} e^{x} \ldots 3 \text{ pontos} $$ $$ \text{Calcular } \lim_{x\to-\infty} e^{x} \ldots 4 \text{ pontos} $$ 2.º Processo: $$ \text{Calcular } \lim_{x\to-\infty} \frac{f(x)}{x} \ldots 6 \text{ pontos} $$ $$ \text{Calcular } \lim_{x\to-\infty} (f(x) – ax) \ldots 6 \text{ pontos} $$ Concluir que $y = ax + b$ é assimptota do gráfico de $f$ quando $x \to -\infty$ ................. 3 pontos