Perímetro de Triângulo em Circunferência - Matemática A 12º Ano 2010

Na Figura 4, estão representados, num referencial o.
n.
xOy, uma circunferência e o triângulo [OAB].
Sabe-se que:

• a circunferência tem diâmetro [OA];
• o ponto A tem coordenadas (2, 0);
• o vértice O do triângulo [OAB] coincide com a origem do referencial;
• o ponto B desloca-se ao longo da semicircunferência superior.
Para cada posição do ponto B, seja α a amplitude do ângulo AOB, com α ∈ ]0, π/2[.
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Mostre que o perímetro do triângulo [OAB] é dado, em função de α, por f(α) = 2(1 + cos α + sen α).

Referir que o perímetro do triângulo $[OAB]$ é igual a $\overline{OB} + \overline{OA} + \overline{AB}$ ..... 1 ponto Escrever $\overline{OA} = 2$ ................................................................................................. 2 pontos $$ \text{Justificar que } \overline{OB} = 2 \cos \alpha \left(\cos \alpha = \frac{\overline{OB}}{\overline{OA}}\right) \ldots 2 \text{ pontos} $$ $$ \text{Justificar que } \overline{AB} = 2 \text{sen } \alpha \left(\text{sen } \alpha = \frac{\overline{AB}}{\overline{OA}}\right) \ldots 2 \text{ pontos} $$ Concluir que $f(\alpha) = 2(1 + \cos \alpha + \text{sen } \alpha)$ ................................................ 3 pontos