Máximo do Perímetro de Triângulo em Circunferência (Matemática A 12.º Ano/2010)

Na Figura 4, estão representados, num referencial o.
n.
xOy, uma circunferência e o triângulo [OAB].
Sabe-se que:

• a circunferência tem diâmetro [OA];
• o ponto A tem coordenadas (2, 0);
• o vértice O do triângulo [OAB] coincide com a origem do referencial;
• o ponto B desloca-se ao longo da semicircunferência superior.
Para cada posição do ponto B, seja α a amplitude do ângulo AOB, com α ∈ ]0, π/2[.
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Determine o valor de α para o qual o perímetro do triângulo [OAB] é máximo.

Determinar $f'$ .......................................................................................................... 5 pontos Determinar $(\cos \alpha)'$ .......................................................................................... 2 pontos Determinar $(\text{sen } \alpha)'$ ....................................................................................... 2 pontos Obter $f'(\alpha) = -2 \text{ sen } \alpha + 2 \cos \alpha$ .................................................................... 1 ponto Estudar o sinal de $f'$, com recurso a um quadro (ver nota)................................. 9 pontos Primeira linha do quadro (relativa à variável $\alpha$, de acordo com o domínio da função) ........................................................................................ 1 ponto Sinal de $f'$ ............................................................................................................ 5 pontos $$ f'(\alpha) = 0 \text{ para } \alpha = \frac{\pi}{4} \ldots 1 \text{ ponto} $$ $$ f'(\alpha) > 0 \text{ para } \alpha < \frac{\pi}{4} \ldots 2 \text{ pontos} $$ $$ f'(\alpha) < 0 \text{ para } \alpha > \frac{\pi}{4} \ldots 2 \text{ pontos} $$ Relação entre o sinal de $f'$ e a monotonia de $f$ ................................................ 2 pontos Assinalar o extremo relativo de $f$ ........................................................................ 1 ponto $$ \text{Indicar o valor de } \alpha \text{ para o qual o perímetro do triângulo é máximo } \left(\alpha = \frac{\pi}{4}\right) \ldots 1 \text{ ponto} $$ Nota – Se o examinando não recorrer a um quadro, mas apresentar uma justificação equivalente, a pontuação a atribuir, nesta etapa, não deve ser desvalorizada.