Números Complexos: Forma Trigonométrica - Exame Matemática A 12.º Ano 2010

Em C, conjunto dos números complexos, considere z₁ = cis (π/7) e z₂ = 2 + i.
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Determine o número complexo w = (3 - i x (z₁)⁷) / z₂ (i designa a unidade imaginária, e z₂ designa o conjugado de z₂).
Apresente o resultado na forma trigonométrica.

Escrever o numerador da fracção na forma algébrica ............................................ 4 pontos $$ ext{Escrever } \text{cis}\left(\frac{\pi}{7}\right)^{7} = \text{cis}\pi \ldots 2 \text{ pontos} $$ $$ \text{Escrever } \text{cis}\pi = -1 \ldots 1 \text{ ponto} $$ Obter $3+i$ ............................................................................................................... 1 ponto Escrever $\overline{z_{2}} = 2-i$ ................................................................................................. 2 pontos $$ \text{Calcular } \frac{3+i}{2-i} \text{ na forma algébrica } \ldots 4 \text{ pontos} $$ Multiplicar ambos os termos da fracção por $2+i$ .................................................. 1 ponto Obter $1+i$ ............................................................................................................... 3 pontos Calcular $1+i$ na forma trigonométrica ................................................................ 4 pontos Escrever $|w| = \sqrt{2}$ ............................................................................................... 2 pontos $$ \text{Indicar } \arg w = \frac{\pi}{4} \text{ (ou equivalente)} \ldots 2 \text{ pontos} $$ $$ \text{Escrever o resultado na forma pedida } \left(w = \sqrt{2} \text{cis}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) \ldots 1 \text{ ponto} $$