Números Complexos: Módulo da Soma (Exame Matemática A 12º Ano 2010)

Em C, conjunto dos números complexos, considere z₁ = cis (π/7) e z₂ = 2 + i.
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Mostre que |z₁ + z₂|² = 6 + 4 cos (π/7) + 2 sen (π/7).

$$ \text{Escrever } z_{1}+z_{2} = \text{cis}\left(\frac{\pi}{7}\right)+2+i \ldots 1 \text{ ponto} $$ $$ \text{Escrever } \text{cis}\left(\frac{\pi}{7}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{7}\right)+i \text{sen}\left(\frac{\pi}{7}\right) \ldots 2 \text{ pontos} $$ Determinar $|z_{1}+z_{2}|^{2}$ ............................................................................................... 5 pontos $$ \text{Escrever } z_{1}+z_{2} = \left(\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)+2\right)+i \left(\text{sen}\left(\frac{\pi}{7}\right)+1\right) \ldots 2 \text{ pontos} $$ $$ \text{Obter } |z_{1}+z_{2}|^{2} = \left[\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)+2\right]^{2}+\left[\text{sen}\left(\frac{\pi}{7}\right)+1\right]^{2} \text{ (ver nota) } 3 \text{ pontos} $$ $$ \text{Obter } \cos^{2}\left(\frac{\pi}{7}\right)+4 \cos\left(\frac{\pi}{7}\right)+4 \ldots 2 \text{ pontos} $$ $$ \text{Obter } \text{sen}^{2}\left(\frac{\pi}{7}\right)+2 \text{sen}\left(\frac{\pi}{7}\right)+1 \ldots 2 \text{ pontos} $$ $$ \text{Utilizar a Fórmula Fundamental da Trigonometria } \left(\text{sen}^{2}\left(\frac{\pi}{7}\right)+\cos^{2}\left(\frac{\pi}{7}\right)=1\right) \ldots 1 \text{ ponto} $$ $$ \text{Concluir que } |z_{1}+z_{2}|^{2}=6+4 \cos\left(\frac{\pi}{7}\right)+2 \text{ sen}\left(\frac{\pi}{7}\right) \ldots 2 \text{ pontos} $$ Nota – Caso o examinando escreva apenas $|z_{1}+z_{2}|^{2} = (z_{1}+z_{2}) \times (\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}})$, esta etapa deve ser pontuada com 2 pontos.