Matemática Aplicada 11º Ano: Juros Compostos vs. Juros Simples (Exame 2011)

O senhor Jerónimo e o senhor Manuel depositaram, cada um, a quantia de €25 000,00 em contas em duas instituições financeiras diferentes, A e B, respectivamente.
Os depósitos evoluíram como se apresenta nas Tabelas 3 e 4.
Tabela 3

Evolução do depósito do senhor Jerónimo (instituição A)	An
A₀: Capital depositado no final de 2004	€25000,00
A₁: Capital acumulado no final de 2005	€25 625,00
A₂: Capital acumulado no final de 2006	€26265,63
A₃: Capital acumulado no final de 2007	€26922,27
A₄: Capital acumulado no final de 2008	€27595,32

Tabela 4

Evolução do depósito do senhor Manuel (instituição B)	Bn
B₀: Capital depositado no final de 2004	€25000,00
B₁: Capital acumulado no final de 2005	€25 700,00
B₂: Capital acumulado no final de 2006	€26400,00
B₃: Capital acumulado no final de 2007	€27100,00
B₄: Capital acumulado no final de 2008	€27800,00

Em conversa com o senhor Manuel, o senhor Jerónimo afirmou que:
«Comparando as duas instituições financeiras, nas mesmas condições de evolução dos depósitos apresentadas nas Tabelas 3 e 4, se nos primeiros anos a instituição B é a melhor escolha para obter o máximo de capital acumulado, a partir de certa altura, a instituição A torna-se mais vantajosa.
»
Justifique a veracidade da afirmação anterior para um novo depósito de €25000,00, numa nova conta, no final de 2010, a partir da representação gráfica dos modelos de evolução dos depósitos nas duas instituições financeiras, A e B.
Na sua resposta, deve:

• escrever a expressão que modela o depósito na instituição A;

• escrever a expressão que modela o depósito na instituição B;

• reproduzir, na folha de respostas, os gráficos visualizados na calculadora;

• reproduzir, na folha de respostas, a janela de visualização utilizada;

• indicar o ano a partir do qual a instituição A se torna mais vantajosa.

Apresenta-se, a seguir, um exemplo de resposta (ver nota). Tendo em conta a informação da Tabela 3, a instituição A oferece uma taxa de juro anual de 2,5%, e o capital acumulado ao fim de n anos de permanência é $A_n = 25000 \times 1,025^n$. Tendo em conta a informação da Tabela 4, a instituição B oferece, para os €25 000, €700 por ano, e o capital acumulado ao fim de n anos de permanência é $B_n = 25000 + 700n$. Observemos os gráficos visualizados na calculadora, no mesmo referencial, na janela [0, 15] × [0, 35 000]. Assim, até ao final de 2019, a instituição B apresenta-se como sendo a melhor escolha, porque a recta que a representa está acima da curva que representa a instituição A. Mas, no final de 2020 e a partir daí, a instituição A já se apresenta como sendo a melhor escolha, uma vez que a curva que representa a instituição A intersecta a recta que representa a instituição B, ficando acima desta. Logo, a afirmação do senhor Jerónimo é verdadeira. Tal como o exemplo ilustra, para que a resposta a este item seja considerada correcta e completa, o examinando deve: A) escrever uma expressão que modela o depósito na instituição A; B) escrever uma expressão que modela o depósito na instituição B; C) reproduzir os gráficos visualizados na calculadora; D) indicar a janela de visualização utilizada; E) indicar o ano a partir do qual a instituição A se torna mais vantajosa. A classificação faz-se de acordo com os níveis de desempenho a seguir descritos.

Descritores do nível de desempenho no domínio específico da disciplina	Níveis	Descritores do nível de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa	Níveis*
			1	2	3
A resposta contempla, correctamente, os cinco pontos.	5		18	19	20
A resposta contempla, correctamente, apenas quatro dos cinco pontos.	4		14	15	16
A resposta contempla, correctamente, apenas os pontos A, B e C, ou apenas os pontos A, B e D, ou apenas os pontos A, C e D, ou apenas os pontos B, C e D.	3		10	11	12
A resposta contempla, correctamente, apenas os pontos A e B, ou apenas os pontos A e C, ou apenas os pontos B e C.	2		6	7	8
A resposta contempla, correctamente, apenas o ponto A ou apenas o ponto B.	1		2	3	4

* Descritores apresentados nos Critérios Gerais de Classificação. Nota - Se o examinando apresentar uma resposta equivalente, considerada cientificamente válida, os elementos de resposta cientificamente válidos devem ser pontuados segundo procedimentos análogos aos previstos nos descritores apresentados.