Raízes de Polinómios com Complexos - Exame Matemática A 12.º Ano 2011

Em C, conjunto dos números complexos, considere z1 = 1, z2 = 5i e z3 = cis(nπ/40), n∈N.
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.
O complexo z1 é raiz do polinómio z³ – z² + 16z – 16.
Determine, em C, as restantes raízes do polinómio.
Apresente as raízes obtidas na forma trigonométrica.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo: Efectuar a divisão inteira de z³ – z² + 16z– 16 por z – z1 (ou equivalente)....... 4 pontos. Obter z² + 16 .................................................................................................... 1 ponto. Resolver a equação z² + 16 = 0 ....................................................................... 6 pontos. Escrever z² + 16 = 0 (ver nota) ..................................................................... 1 ponto. Obter z² = -16 .............................................................................................. 1 ponto. Obter z = √-16 .............................................................................................. 1 ponto. Obter z = -√-16 ............................................................................................. 1 ponto. Obter z = 4i .................................................................................................... 1 ponto. Obter z = -4i ................................................................................................... 1 ponto. Escrever 4i na forma trigonométrica ............................................................... 2 pontos. Escrever -4i na forma trigonométrica. ............................................................. 2 pontos. 2.º Processo: Efectuar a divisão inteira de z³ – z² + 16z− 16 por z – z1 (ou equivalente)....... 4 pontos. Obter z² + 16 .................................................................................................... 1 ponto. Resolver a equação z² + 16 = 0 ....................................................................... 10 pontos. Escrever z² + 16 = 0 (ver nota) ..................................................................... 1 ponto. Obter z² = -16 .............................................................................................. 1 ponto. Escrever z² = 16cisπ ..................................................................................... 2 pontos. Obter z = $\sqrt{16\text{ cis}}\pi$ ........................................................................................ 1 ponto. Escrever z = 4 cis $\frac{\pi + 2k\pi}{2}$, $k\in \{0,1\}$ ........................................................... 3 pontos. Obter z = 4cis $\frac{\pi}{2}$ ............................................................................................. 1 ponto. Obter z = 4cis $\frac{3\pi}{2}$ ........................................................................................... 1 ponto. Nota – Se o examinando não explicitar esta etapa, mas evidenciar que a considerou na sua resposta, esta etapa deve ser considerada como cumprida.