Números Complexos: Argumento e Quadrantes (Matemática A 12º Ano 2011)

Em C, conjunto dos números complexos, considere z1 = 1, z2 = 5i e z3 = cis(nπ/40), n∈N.
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.
Determine o menor valor de n natural para o qual a imagem geométrica de z2 × z3, no plano complexo, está no terceiro quadrante e pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares.

Escrever z2 na forma trigonométrica ............................................................... 2 pontos. Indicar um argumento de z2 × z3 ....................................................................... 4 pontos. Escrever uma condição para que a imagem geométrica de z2 × z3 esteja no 3.º quadrante e pertença à bissectriz dos quadrantes ímpares (ver notas 1 e 2).. 4 pontos. Obter n = 30 + 80k, $k\in \text{ Z}$ (ou equivalente).. .................................................... 3 pontos. Concluir que n = 30 ......................................................................................... 2 pontos. Notas: 1. Se o examinando considerar apenas que z2 × z3 pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares, a pontuação a atribuir, nesta etapa, é 2 pontos. 2. Se o examinando considerar apenas que z2 × z3 está no 3.º quadrante, a pontuação a atribuir, nesta etapa, é 2 pontos.