Matemática A 12.º Ano 2011: Assíntota e Reta Tangente (1.ª Fase)

Considere a função f, de domínio R, definida por f(x) = { 3/(x - 1) se x < 1 ; (2 + ln x)/x se x ≥ 1.
O gráfico de f admite uma assimptota horizontal.
Seja P o ponto de intersecção dessa assimptota com a recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa e.
Determine as coordenadas do ponto P recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

Calcular $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ ou $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ ........................................................................... 2 pontos. Escrever uma equação da assimptota horizontal .............................................. 1 ponto. Identificar o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa e com f'(e) .......................................................................................................... 2 pontos. Determinar f' em ]1, +$\infty$[ ................................................................................. 7 pontos. Escrever $\left( \frac{2+\ln x}{x} \right)'$ ................................................................................. 1 ponto. Escrever $\frac{(2+\ln x)' x - (2 + \ln x) x'}{x^2}$ ........................................................................... 2 pontos. Determinar $(x)'$ ............................................................................................ 1 ponto. Determinar $(2 + \ln x)'$ .................................................................................... 2 pontos. Obter f' .......................................................................................................... 1 ponto. Determinar f'(e) .............................................................................................. 1 ponto. Determinar f(e) ............................................................................................... 1 ponto. Escrever uma equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa e .... 3 pontos. Determinar a abcissa do ponto de intersecção da assimptota do gráfico de f com a recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa e ............................. 2 pontos. Indicar as coordenadas do ponto P ................................................................. 1 ponto.