Matemática A 12.º Ano: Derivadas e Identidade Trigonométrica (Exame 2011)

Na Figura 5, está representada, num referencial o.
n.
xOy, parte do gráfico da função f, de domínio R, definida por f(x) = 4 cos(2x).
Sabe-se que:

• os vértices A e D do trapézio [ABCD] pertencem ao eixo Ox
• o vértice B do trapézio [ABCD] pertence ao eixo Oy
• o vértice D do trapézio [ABCD] tem abcissa -π/6
• os pontos A e C pertencem ao gráfico de f
• a recta CD é paralela ao eixo Oy.
Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Seja f' a primeira derivada da função f, e seja f'' a segunda derivada da função f.
Mostre que f(x) + f'(x) + f''(x) = -4(3 cos(2x) + 2 sen(2x)), para qualquer número real x.

Determinar f' .................................................................................................... 3 pontos. Determinar f'' ................................................................................................... 3 pontos. Escrever $4 \cos(2x) - 8 \text{ sen}(2x) – 16 \cos(2x)$ ................................................... 1 ponto. Concluir o pretendido ........................................................................................ 3 pontos.