Números Complexos: Determinar 'b' para 'w' ser Real (Matemática A 12.º Ano 2011)

Seja C o conjunto dos números complexos.
Resolva os dois itens seguintes, sem recorrer à calculadora.
Considere z₁ = 1 + 2i e w = (z₁^(4n+3) − b) / (√2 cis(5π/4)), com b ∈ IR e n ∈ IN.
Determine o valor de b para o qual w é um número real.

Substituir z₁ por 1 + 2i .................................................................................... 1 ponto Concluir que i⁴ⁿ⁺³ = −i (ou equivalente) .............................................................. 2 pontos Escrever $\sqrt{2} \text{ cis}(\frac{5\pi}{4})$ na forma algébrica ............................................................ 2 pontos Obter $\frac{2-b-i}{-1-i}$ (ou equivalente) ........................................................................... 2 pontos Indicar a multiplicação de ambos os termos da fracção pelo conjugado do denominador ...................................................................................................... 1 ponto Efectuar a multiplicação do numerador .............................................................. 2 pontos Efectuar a multiplicação do denominador ........................................................... 1 ponto Referir que $w$ é um número real se $3 - b = 0$ (ou equivalente) ........................... 3 pontos Concluir que $b = 3$ .............................................................................................. 1 ponto