Números Complexos: Prova de Identidade com Módulo - Matemática A 12º Ano 2011

Seja C o conjunto dos números complexos.
Resolva os dois itens seguintes, sem recorrer à calculadora.
Seja z um número complexo tal que |z| = 1.
Mostre que |1 + z|² + |1 − z|² = 4.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, três processos. 1.º Processo Considerar $z = a + bi$ ........................................................................................... 1 ponto Substituir $z$ por $a + bi$ na expressão $|1 + z|^2 + |1 - z|^2$ ........................................ 1 ponto Obter $(1 + a)^2 + b^2 + (1 - a)^2 + b^2$ ....................................................................... 4 pontos Desenvolver $(1 + a)^2$ ............................................................................................ 2 pontos Desenvolver $(1 - a)^2$ ............................................................................................ 2 pontos Obter $2 + 2(a^2 + b^2)$ (ou equivalente) ................................................................. 2 pontos Referir que $a^2 + b^2 = 1$ (ou equivalente) ............................................................. 3 pontos Concluir o pretendido .......................................................................................... 1 ponto 2.º Processo Considerar $z = \rho \text{cis} \theta$ Referir que $z = \text{cis} \theta$ se $|z| = 1$ ........................................................................... 1 ponto Substituir $z$ por $\text{cis} \theta$ na expressão $|1 + z|^2 + |1 - z|^2$ ........................................ 1 ponto Escrever $|1 + \cos \theta + i \sen \theta|^2 + |1 - \cos \theta - i \sen \theta|^2$ ................................... 1 ponto Obter $(1 + \cos \theta)^2 + \sen^2 \theta + (1 - \cos \theta)^2 + \sen^2 \theta$ .................................... 4 pontos Desenvolver $(1 + \cos \theta)^2$ .................................................................................... 2 pontos Desenvolver $(1 - \cos \theta)^2$ ..................................................................................... 2 pontos Obter $1 + \cos^2 \theta + \sen^2 \theta + 1 + \cos^2 \theta + \sen^2 \theta$ ............................................ 2 pontos Referir que $\sen^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ ............................................................................ 1 ponto Concluir o pretendido .......................................................................................... 1 ponto 3.º Processo Considerar $z\bar{z} = |z|^2$ Escrever $|1 + z|^2 = (1 + z)(\overline{1 + z})$ .................................................................... 2 pontos Escrever $|1 - z|^2 = (1 - z)(\overline{1 - z})$ ..................................................................... 2 pontos Escrever $\overline{1 + z} = 1 + \bar{z}$ ....................................................................................... 1 ponto Escrever $\overline{1 - z} = 1 - \bar{z}$ ....................................................................................... 1 ponto Concluir que $\bar{\bar{1}} = 1$ ................................................................................................. 1 ponto Escrever $(1 + z)(1 + \bar{z}) = 1 + \bar{z} + z + |z|^2$ ......................................................... 3 pontos Escrever $(1 - z)(1 - \bar{z}) = 1 - \bar{z} - z + |z|^2$ ........................................................... 3 pontos Substituir $|z|$ por 1 .............................................................................................. 1 ponto Concluir o pretendido .......................................................................................... 1 ponto