Crescimento Populacional: Modelos Exponenciais - Matemática A 12.º Ano 2011

Na estufa de um certo jardim botânico, existem dois lagos aquecidos, o lago A e o lago B.
Às zero horas do dia 1 de Março de 2010, cada lago recebeu uma espécie diferente de nenúfares, a saber, Victoria amazonica e Victoria cruziana.
N_A(t) é o número aproximado de nenúfares existentes no lago A, t dias após as zero horas do dia 1 de Março de 2010.
Esses nenúfares são da espécie Victoria amazonica e desenvolvem-se segundo o modelo N_A(t) = 120 / (1 + 7×e^−0,2t) com t ≥ 0.
N_B(t) é o número aproximado de nenúfares existentes no lago B, t dias após as zero horas do dia 1 de Março de 2010.
Esses nenúfares são da espécie Victoria cruziana e desenvolvem-se segundo o modelo N_B(t) = 150 / (1 + 50×e^−0,4t) com t ≥ 0.
Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Determine quantos dias foram necessários, após as zero horas do dia 1 de Março de 2010, para que o número de nenúfares existentes no lago A fosse igual ao número de nenúfares existentes no lago B.
Apresente o resultado com arredondamento às unidades.

Equacionar o problema $(N_A(t) = N_B(t))$ ............................................................. 2 pontos Resolver a equação $N_A(t) = N_B(t)$ ...................................................................... 11 pontos Obter $200 e^{-0,4t} - 35 e^{-0,2t} - 1 = 0$ (ou equivalente) ........................................ 3 pontos Concluir que $e^{-0,2t} = 0,2$ e $e^{-0,2t} = -0,025$ (ou equivalente) ..................... 3 pontos Reconhecer que $e^{-0,2t} = -0,025$ é uma equação impossível ........................ 2 pontos Obter $-0,2 t = \ln(0,2)$ (ou equivalente) ........................................................ 2 pontos Obter o valor de $t$ .............................................................................................. 1 ponto Concluir o pretendido .......................................................................................... 2 pontos