Assimptotas Verticais em Função Definida por Ramos - Matemática A 12º Ano 2011

Considere a função f, de domínio [0, +∞[, definida por f(x) = { (e^(2-x) − 1) / (x − 2) se 0 ≤ x < 2 ; (x + 1) / ln(x + 1) se x ≥ 2.
Resolva os três itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Estude f quanto à existência de assimptotas verticais do seu gráfico.

Estudar a existência de assimptotas verticais do gráfico de $f$ (ver nota 1). Calcular $\lim_{x \to 2^{-}} f(x)$ ....................................................................................... 10 pontos Escrever $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{e^{2-x} - 1}{x - 2}$ ........................................................................... 1 ponto Levantar a indeterminação .......................................................................... 6 pontos Escrever $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{e^{2-x} - 1}{-(2 - x)}$ (ou equivalente) ................................ 2 Escrever $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{e^{2-x} - 1}{-(2 - x)} = \lim_{y \to 0^{+}} \frac{e^{y} - 1}{-y}$ (ver nota 2) ................... 3 Referir o limite notável $\lim_{y \to 0} \frac{e^{y} - 1}{y} = 1$ (ou equivalente) ....................... 1 Obter o valor de $\lim_{x \to 2^{-}} f(x)$ ....................................................................... 3 pontos Calcular $\lim_{x \to 2^{+}} f(x)$ (ver nota 3) ...................................................................... 2 pontos Concluir que o gráfico de $f$ não tem assimptota vertical em $x = 2$ ...................... 1 ponto Concluir que o gráfico de $f$ não admite outras assimptotas verticais por $f$ ser contínua em $[0, + \infty[ \setminus \{2\}$ .......................................................................... 2 pontos Notas: 1. Se o examinando calcular, para além dos limites indicados, $\lim_{x \to 0^{+}} f(x)$, a classificação a atribuir a esta resposta deve ser desvalorizada em 2 pontos. Se da aplicação desta nota resultar uma classificação negativa deve ser classificada com zero pontos. 2. Se o examinando referir que $x \to 2^{-}$ é equivalente a $x - 2 \to 0^{-}$ ou $2 - x \to 0^{+}$, esta etapa deve ser considerada como cumprida. 3. Se o examinando não calcular $\lim_{x \to 2^{+}} f(x)$, mas referir que $f$ é contínua à direita em $x = 2$, a pontuação a atribuir, nesta etapa, não deve ser desvalorizada.