Matemática A 12.º Ano: Teorema de Bolzano (Exame 2011, 2.ª Fase)

Considere a função f, de domínio [0, +∞[, definida por f(x) = { (e^(2-x) − 1) / (x − 2) se 0 ≤ x < 2 ; (x + 1) / ln(x + 1) se x ≥ 2.
Resolva os três itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Mostre, sem resolver a equação, que f(x) = −3 tem, pelo menos, uma solução em ]0, 1/2[.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Referir que a função $f$ é contínua em $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ (ver notas 1 e 2) ....................... 2 pontos Concluir que $f(0) < -3 < f\left(\frac{1}{2}\right)$ ........................................................................ 6 pontos Calcular $f(0)$ .......................................................................................... 2 pontos Calcular $f\left(\frac{1}{2}\right)$ .......................................................................................... 2 pontos Escrever $f(0) < -3 < f\left(\frac{1}{2}\right)$ (ou equivalente) ........................................... 2 pontos Concluir o pretendido (ver nota 3) .......................................................................... 2 pontos 2.º Processo Se o examinando considerar $g(x) = f(x) + 3$ Referir que a função $g$ é contínua em $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ (ver notas 1 e 2) ........................ 2 pontos Concluir que $g(0) \times g\left(\frac{1}{2}\right) < 0$ (ou equivalente) ................................................ 6 pontos Calcular $g(0)$ ............................................................................................ 2 pontos Calcular $g\left(\frac{1}{2}\right)$ ............................................................................................ 2 pontos Escrever $g(0) \times g\left(\frac{1}{2}\right) < 0$ ....................................................................... 2 pontos Concluir o pretendido (ver nota 3) .......................................................................... 2 pontos Notas: 1. Se o examinando não referir que a função é contínua em $\left]0, \frac{1}{2}\right]$, a pontuação a atribuir, nesta etapa, é zero pontos. 2. Se o examinando referir que a função é contínua em $\left[0, \frac{1}{2}\right]$, a pontuação a atribuir, nesta etapa, é zero pontos. 3. Se o examinando não referir que a conclusão resulta do teorema de Bolzano, a pontuação a atribuir, nesta etapa, deve ser desvalorizada em 1 ponto.