Monotonia de Função Logarítmica - Matemática A 12º Ano 2011 (2ª Fase)

Considere a função f, de domínio [0, +∞[, definida por f(x) = { (e^(2-x) − 1) / (x − 2) se 0 ≤ x < 2 ; (x + 1) / ln(x + 1) se x ≥ 2.
Resolva os três itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Estude f quanto à monotonia em ]2, +∞[.

Determinar $f'(x)$ se $x > 2$ ................................................................................ 6 pontos Escrever $f'(x) = \frac{(x + 1)' \ln(x + 1) - (x + 1) [\ln(x + 1)]'}{[\ln(x + 1)]^2}$ (ou equivalente) ............ 2 pontos Determinar $[\ln(x + 1)]'$ ............................................................................. 2 pontos Obter $f'(x)$ se $x > 2$ ................................................................................ 2 pontos Estudar $f$ quanto à monotonia (ver nota) ........................................................... 9 pontos Concluir que $e - 1$ não pertence a $]2, + \infty[$ (ou equivalente) ..................... 3 pontos Referir que o intervalo considerado é um intervalo aberto .............................. 2 pontos Concluir que $f'$ não se anula em $]2, + \infty[$ ................................................. 2 pontos Concluir que $f$ é crescente em $]2, + \infty[$ .................................................... 2 pontos Nota – Se o examinando recorrer a um quadro, a pontuação a atribuir, nesta etapa, deve ser distribuída do seguinte modo: Concluir que $e – 1$ não pertence a $]2, + \infty[$ (ou equivalente) ..................... 3 pontos Preencher a primeira linha do quadro (relativa à variável $x$, de acordo com o domínio da função) .......................................................................... 1 ponto Indicar o sinal de $f'$ .................................................................................... 2 pontos Relacionar o sinal de $f'$ com a monotonia de $f$ .......................................... 1 ponto Concluir que $f$ é crescente em $]2, + \infty[$ .................................................... 2 pontos