Modelos Exponenciais e Logísticos - Análise Gráfica | Matemática 11º Ano 2012

Uma empresa de marketing analisa dados relativos às vendas mensais de dois produtos, telemóveis e computadores, de uma determinada marca, no mesmo período de tempo.
O número N de telemóveis vendidos dessa marca, em milhares, t meses após o início das vendas, é bem aproximado por N(t) = 4,8×3^0,15t (t = 1, 2, 3, .
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Na Tabela 5, apresenta-se o número V de computadores vendidos dessa marca, em milhares, t meses após o início das vendas.

Tabela 5

t (em meses)	1	2	3	4	5	6	7	8	9
V (em milhares)	0,541	2,532	13,163	14,204	15,105	16,236	16,257	16,288	16,290

Considere, agora, que o número V de computadores vendidos dessa marca, em milhares, t meses após o início das vendas, é bem aproximado por V(t) = 16 / (1 + 2307 × e^-3t) (t = 1, 2, 3, .
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)
Justifique a veracidade ou a falsidade da afirmação seguinte, a partir da análise de representações gráficas dos modelos para o número N de telemóveis vendidos e para o número V de computadores vendidos, considerando o período de um ano após o início das vendas.
«Até ao final do segundo mês após o início das vendas, o número N de telemóveis vendidos é maior, porque, para esse período de tempo, a curva que o representa está acima da curva que representa o número V de computadores vendidos.
Mas, no final do terceiro mês e a partir daí, o número V de computadores vendidos é maior, uma vez que as curvas se intersectam e a curva que representa o número V de computadores vendidos fica sempre acima da curva que representa o número N de telemóveis vendidos.
»
Na sua resposta, deve:

• reproduzir, na folha de respostas, a representação gráfica visualizada na calculadora relativa ao modelo N;

• reproduzir, na folha de respostas, a representação gráfica visualizada na calculadora relativa ao modelo V;

• reproduzir, na folha de respostas, a janela de visualização utilizada;

• indicar se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando.

Apresenta-se, a seguir, um exemplo de resposta (ver nota). A afirmação é falsa, pois, a partir da visualização das representações gráficas dos modelos $N(t) = 4,8 \times 3^{0,15t}$ e $V(t) = \frac{16}{1+2307 \times e^{-3t}}$ na calculadora gráfica, com a janela de visualização $[0,12] \times [0,25]$, verifica-se a existência de dois pontos de intersecção. Assim, até ao final do segundo mês após o início das vendas, a representação gráfica do modelo $N$ fica acima da representação gráfica do modelo $V$, pelo que o número $N$ de telemóveis vendidos se apresenta como sendo maior. No final do terceiro mês, a representação gráfica do modelo $V$ fica acima da representação gráfica do modelo $N$, o que significa que o número de computadores vendidos é maior. Porém, no final do oitavo mês e a partir daí, a representação gráfica do modelo $N$ fica acima da representação gráfica do modelo $V$, o que significa que o número $N$ de telemóveis vendidos se apresenta como sendo maior. $N(t)$ [Representação gráfica] $V(t)$ [Representação gráfica] Nota - Se o examinando apresentar uma resposta equivalente, considerada cientificamente válida, os elementos de resposta cientificamente válidos devem ser pontuados segundo procedimentos análogos aos previstos nestes critérios de classificação. Reproduzir, na folha de respostas, a representação gráfica visualizada na calculadora relativa ao modelo $N$ (4 pontos) Apresentar uma representação gráfica com a curva característica de um modelo exponencial (2 pontos) Apresentar uma representação gráfica que respeita os pontos relevantes do modelo $N$ (2 pontos) Reproduzir, na folha de respostas, a representação gráfica visualizada na calculadora relativa ao modelo $V$ (4 pontos) Apresentar uma representação gráfica com a curva característica de um modelo logístico (2 pontos) Apresentar uma representação gráfica que respeita os pontos relevantes do modelo $V$ (2 pontos) Indicar, na folha de respostas, a janela de visualização utilizada (4 pontos) Indicar para as abcissas um intervalo que permita visualizar a evolução dos dois modelos, no período de um ano após o início das vendas (2 pontos) Indicar para as ordenadas um intervalo que permita visualizar a evolução dos dois modelos (2 pontos) Indicar se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando (8 pontos) A classificação desta etapa faz-se de acordo com os níveis de desempenho a seguir descritos.

Descritores do nível de desempenho no domínio específico da disciplina	Descritores do nível de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa	Níveis*
Níveis		1	2	3
8	A resposta contempla, corretamente, os seis pontos OU contempla, corretamente, apenas três correspondências e duas justificações OU contempla, corretamente, apenas duas correspondências e três justificações.	18	19	20
7	A resposta contempla, corretamente, apenas duas correspondências e as respetivas justificações.	15	16	17
6	A resposta contempla, corretamente, as três correspondências e apenas uma justificação.	12	13	14
5	A resposta contempla, corretamente, apenas duas correspondências e apenas uma justificação.	9	10	11
4	A resposta contempla, corretamente, apenas uma correspondência e a sua justificação.	6	7	8
3	A resposta contempla, corretamente, apenas as três correspondências.	6	6	6
2	A resposta contempla, corretamente, apenas duas correspondências.	4	4	4
1	A resposta contempla, corretamente, apenas uma correspondência.	2	2	2