Justificação da Área de Segmento Circular (Matemática B 11º Ano, Exames 2012)

Considere agora a Figura 8, construída a partir da Figura 7.
Admita que BE = 4 e que o ponto D se movimenta ao longo do arco de circunferência CE, nunca coincidindo com os extremos do arco.
Nessas condições, para o ângulo CBD, seja α a amplitude positiva mínima em radianos, e seja S₃ a região delimitada pela corda [CD] e pelo respetivo arco.
Considere a função h que dá a área de S₃ para cada valor de α, de acordo com a seguinte expressão:
h(α) = 8α - 8 sen(α).
O argumento da função seno está em radianos.
Elabore uma pequena composição na qual justifique o facto de a expressão 8α – 8 sen(α) dar a área de S₃, para cada valor de α.
Na sua composição, explique, no contexto do problema:

• o que representa a expressão 8 α
• o que representa a expressão 8 sen(α)
• por que razão se calcula a diferença entre as duas expressões anteriores para se obter a área de S₃.

Tal como o exemplo de resposta ilustra, a composição deverá contemplar os três tópicos seguintes: • explicação, no contexto do problema, do que representa a expressão 8 α • explicação, no contexto do problema, do que representa a expressão 8 sen(α) • explicação da razão do cálculo da diferença entre as duas expressões anteriores para se obter a área de S₃. Apresenta-se, a seguir, um exemplo de resposta: «A expressão 8α dá a área do sector circular BCD, porque resulta de α x 4² / 2, em que α é a amplitude do sector e 4 é o respetivo raio. A expressão 8 sen(α) dá a área do triângulo [BCD], porque resulta de 4 x 4 sen(α) / 2, em que 4 é o comprimento da base [BC] e 4sen(α) é o comprimento da altura h relativamente a [BC], pois sen(α) = h/4 ⇔ h = 4sen(α). Calcula-se 8α – 8sen(α) porque a área de S₃ é a área não ocupada pelo triângulo [BCD] no sector circular BCD». Classificação na tabela seguinte:

Descritores do nível de desempenho no domínio específico da disciplina	Descritores do nível de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa	Níveis*
		1	2	3
3. A composição contempla corretamente os três tópicos.		18	19	20
Níveis** 2. A composição contempla corretamente apenas dois tópicos.		12	13	14
1. A composição contempla corretamente apenas um tópico.		6	7	8

* Descritores apresentados nos Critérios Gerais de Classificação. ** Apenas podem ser atribuídas classificações correspondentes a um dos valores constantes do quadro. Não há lugar a classificações intermédias. No caso de a resposta não atingir o nível 1 de desempenho no domínio específico da disciplina, a classificação a atribuir é zero pontos. Neste caso, não é classificado o desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa.