Matemática A 12.º Ano: Determinar Zero de Função Exponencial (Exame 2012)

Considere a função f, de domínio R, e a função g, de domínio ]0, +∞[, definidas por f(x) = e^(x−2) − 4e^(−x) + 4 / e² e g(x) = −ln(x) + 4
Mostre que ln(2 + 2√2) é o único zero da função f, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

Escrever f(x) = 0 ................................................................................ 1 ponto Resolver a equação f(x) = 0 .............................................................. 14 pontos Obter eˣ - 4e⁻ˣ − 4 = 0 ............................................................... 4 pontos Obter (eˣ)² - 4eˣ − 4 = 0 .............................................................. 3 pontos Concluir que eˣ = 2±2√2 (ver nota) ............................................ 3 pontos Reconhecer que eˣ = 2 - 2√2 é uma equação impossível...... 2 pontos Obter x = ln(2 + 2√2) .............................................................. 2 pontos Nota – Se o examinando utilizar a calculadora para determinar a solução da equação do 2.º grau, a pontuação a atribuir nesta etapa não deve ser desvalorizada.