Assíntotas Não Verticais: Função Definida por Ramos | Matemática A 12º Ano 2012

Considere a função f, de domínio R, definida por f(x) = { x ln(x + 1) − x ln(x) + 3x se x > 0 ; x e^(1−x) se x ≤ 0.
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Estude a função f quanto à existência de assíntotas não verticais do seu gráfico.

Estudar a existência de assíntotas não verticais do gráfico da função f quando x → −∞ ......................................................................................... 3 pontos Calcular lim f(x)/x (x→−∞) .............................................................. 2 pontos Concluir que o gráfico de f não tem assíntota não vertical quando x → −∞ ........................................................................................ 1 ponto Estudar a existência de assíntotas não verticais do gráfico da função f quando x → +∞ ....................................................................................... 12 pontos Determinar lim f(x)/x (x→+∞) ........................................................... 5 pontos Escrever lim (ln(x+1)−ln(x)+3) (x→+∞) .......................................... 1 ponto Escrever lim (ln(x+1)/x+3) (x→+∞) ..................................................... 1 ponto Escrever lim ln(1+1/x)+3 (x→+∞) ...................................................... 1 ponto Obter o valor de m = lim f(x)/x (x→+∞) .................................................... 2 pontos Determinar lim (f(x)−mx) (x→+∞) .......................................................... 6 pontos Escrever lim (x ln(x+1)−x ln(x)) (x→+∞) ............................................... 1 ponto Escrever lim (x ln(x+1/x)) (x→+∞) ....................................................... 1 ponto Levantar a indeterminação ............................................................. 3 pontos Escrever lim ln(1+1/x) / (1/x) = lim ln(1+y) / y (y→0) (ou equivalente) (ver nota) ............................ 2 pontos Referir o limite notável lim ln(1+y) / y (y→0) ........................................... 1 ponto Obter o valor de b = lim (f(x)−mx) (x→+∞) ............................................... 1 ponto Concluir que o gráfico de f tem uma assíntota não vertical quando x → +∞ ....................................................................................... 1 ponto Nota – Se o examinando referir que x → +∞ é equivalente a 1/x → 0, esta etapa deve ser considerada como cumprida.