Matemática A 12.º Ano 2012: Derivadas Trigonométricas e Geometria

Na Figura 5, está representado um trapézio retângulo [ABCD].
Sabe-se que:

• BC = 1
• CD = 1
• α é a amplitude, em radianos, do ângulo ADC
• α ∈ ]π/2, π[ Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Para um certo número real θ, tem-se que tgθ = −√8, com π/2 < θ < π Determine o valor exato de P'(θ) Comece por mostrar que P'(α) = 1 − cos α / sen² α

Determinar P' ....................................................................................... 7 pontos Escrever (3 + 1 − cos α / sen α )' ................................................... 1 ponto Escrever (3 + 1 − cos α / sen α )' = (1 − cos α)' sen α − (1 − cos α)(sen α)' / sen² α .................................................................................... 2 pontos Determinar (1 − cos α)' ............................................................... 1 ponto Determinar (sen α)' ..................................................................... 1 ponto Substituir sen²α + cos²α por 1 ........................................................ 1 ponto Obter P'(α) ................................................................................. 1 ponto Determinar P'(θ) ................................................................................... 8 pontos Determinar cos θ .......................................................................... 3 pontos Determinar sen θ .......................................................................... 3 pontos Calcular o valor exato de P'(θ) ........................................................ 2 pontos