Números Complexos: Divisão em Forma Trigonométrica (Matemática A 12º Ano 2012)

GRUPO II
1.
1.
Seja n um número natural.
Determine (√3 × i^(4n-6) + 2cis(-π/6)) / (2 cis (π/5)), sem recorrer à calculadora.
Apresente o resultado na forma trigonométrica.

Calcular o numerador na forma algébrica ................................................................ 9 pontos Calcular $i^{4n-6}$ ................................................................................................... 3 pontos Escrever $i^{4n} = 1$ ................................................................................................... 1 ponto Escrever $i^{-6} = -1$ ................................................................................................ 1 ponto Concluir que $i^{4n-6} = -1$ ....................................................................................... 1 ponto Calcular $2 \text{cis} \left(-\frac{\pi}{6}\right)$ na forma algébrica .............................................................. 4 pontos Escrever $2 \text{cis} \left(-\frac{\pi}{6}\right) = 2 \left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+\text{i sen} \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$ .................... 1 ponto Escrever $\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ...................................................................... 1 ponto Escrever $\sen \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$ ....................................................................... 1 ponto Escrever $2 \text{cis} \left(-\frac{\pi}{6}\right)$ na forma $a + bi$ .......................................................... 1 ponto Obter o numerador na forma algébrica ................................................................. 2 pontos Calcular $\frac{-i}{2 \text{cis} \left(\frac{\pi}{5}\right)}$ na forma trigonométrica .......................................................... 6 pontos Escrever $-i = \text{cis} \left(\frac{3\pi}{2}\right)$ ............................................................................... 2 pontos Efetuar a divisão na forma trigonométrica ............................................................. 4 pontos