Números Complexos: Soma e Quadrante (Matemática A 12º Ano 2012

GRUPO II
1.
2.
Seja α ∈ ]π/4, π/2[.
Sejam z₁ e z₂ dois números complexos tais que z₁ = cis α e z₂ = cis(α + π/2).
Mostre, analiticamente, que a imagem geométrica de z₁ + z₂, no plano complexo, pertence ao 2.
º quadrante.

Escrever $z_1 + z_2 = \text{cis} \alpha + \text{cis}(\alpha + \frac{\pi}{2})$ .................................................... 1 ponto Escrever $\text{cis} \alpha = \cos \alpha + i \sen \alpha$ ..................................................................... 1 ponto Escrever $\text{cis}(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) + i \sen (\alpha + \frac{\pi}{2})$ ........................ 1 ponto Escrever $\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sen \alpha$ ....................................................................... 2 pontos Escrever $\sen (\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos \alpha$ ......................................................................... 2 pontos Obter $z_1 + z_2 = (\cos \alpha - \sen \alpha) + i(\sen \alpha + \cos \alpha)$ (ou equivalente) ............... 1 ponto Concluir que $\sen \alpha + \cos \alpha > 0$ se $\alpha \in ]\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}[$ ........................................... 2 pontos Concluir que $\cos \alpha - \sen \alpha < 0$ se $\alpha \in ]\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}[$ (ver nota) ............................... 4 pontos Concluir o pretendido .......................................................................................... 1 ponto Nota – Se o examinando não referir que a conclusão resulta de $\sen \alpha > \cos \alpha$ quando $\alpha \in ]\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}[$, a pontuação a atribuir nesta etapa deve ser desvalorizada em 2 pontos.