GRUPO I
Portugal é, tradicionalmente, um grande produtor e consumidor de azeite.
1.
Uma empresa de produtos agrícolas vende azeite no mercado interno e no mercado externo.
Relativamente ao ano de 2014, admita que:
• a empresa poderá vender, no total, até 6 mil toneladas de azeite;
• a quantidade de azeite a vender pela empresa no mercado externo não poderá ultrapassar 3 mil toneladas;
• a empresa terá uma despesa de 2000 euros por cada milhar de toneladas com a venda do azeite no mercado interno e uma despesa de 4000 euros por cada milhar de toneladas com a venda do azeite no mercado externo;
• a despesa total da empresa com a venda do azeite não poderá exceder 16 000 euros.
Admita ainda que, no ano de 2014, a empresa obterá um lucro de 500 euros por cada milhar de toneladas com a venda do azeite no mercado interno e um lucro de 600 euros por cada milhar de toneladas com a venda do azeite no mercado externo.
Designe por x a quantidade de azeite, em milhares de toneladas, a vender no mercado interno e por y a quantidade de azeite, em milhares de toneladas, a vender no mercado externo, no ano de 2014.
Determine a quantidade de azeite, em milhares de toneladas, que se deverá vender no mercado interno e a quantidade de azeite, em milhares de toneladas, que se deverá vender no mercado externo, no ano de 2014, de modo que, nas condições referidas, o lucro da empresa, nesse ano, seja máximo.
Na sua resposta, percorra, sucessivamente, as seguintes etapas:
• indicar a função objetivo;
• indicar as restrições do problema;
• representar, graficamente, a região admissível referente ao sistema de restrições;
• calcular a quantidade de azeite, em milhares de toneladas, que se deverá vender no mercado interno e a quantidade de azeite, em milhares de toneladas, que se deverá vender no mercado externo, correspondentes à solução do problema.
Indicar a função objetivo (L = 500x + 600y) ................................................................... 3 pontos
Indicar as restrições (ver nota 1) ................................................................................. 11 pontos
x + y ≤ 6 (ver notas 2 e 3) .......................................................................................... 3 pontos
y ≤ 3 (ver notas 2 e 3) ............................................................................................ 3 pontos
2000x + 4000y ≤ 16000 (ver notas 2 e 3) .............................................................. 3 pontos
x ≥ 0 ....................................................................................................................... 1 ponto
y ≥ 0 ....................................................................................................................... 1 ponto
Representar graficamente a região admissível ............................................................. 8 pontos
Representar graficamente a reta de equação x + y = 6 .............................................. 2 pontos
Representar graficamente a reta de equação y = 3 .................................................... 1 ponto
Representar graficamente a reta de equação
2000x + 4000y = 16000 .......................................................................................... 2 pontos
Assinalar o polígono ................................................................................................. 3 pontos
Calcular a quantidade de azeite, em milhares de toneladas, que se deverá vender no
mercado interno e a quantidade de azeite, em milhares de toneladas, que se deverá
vender no mercado externo ....................................................................................... 8 pontos
Obter as coordenadas dos vértices do polígono que não pertencem
aos eixos coordenados ((2, 3) e (4, 2)).................................................................... 2 pontos
Calcular o valor da função objetivo em cada um dos vértices da
região admissível (ou implementar o método da paralela à reta de
nível zero) (ver notas 4 e 5) ..................................................................................... 4 pontos
Indicar os valores pedidos (quatro milhares de toneladas de azeite
no mercado interno e dois milhares de toneladas de azeite no
mercado externo) ................................................................................................... 2 pontos
Notas:
1. Se o examinando utilizar incorretamente o símbolo «<», em vez do símbolo «≤», e/ou o símbolo
«>», em vez do símbolo «≥», a pontuação a atribuir a esta etapa deverá ser desvalorizada em
1 ponto, no total.
2. Se o examinando utilizar incorretamente o símbolo «=», em vez do símbolo «≤», a pontuação a
atribuir a este passo deverá ser desvalorizada em 2 pontos.
3. Se o examinando utilizar incorretamente o símbolo «>», em vez do símbolo «≤», a pontuação a
atribuir a este passo deverá ser desvalorizada em 2 pontos.
4. Deverá ser atribuído 1 ponto ao cálculo do valor da função objetivo em cada um dos vértices do
polígono que define a região admissível, com exceção da origem.
5. No caso de o examinando implementar o método da paralela à reta de nível zero e se limitar a
representar, corretamente, esta reta, a pontuação a atribuir a este passo deverá ser 2 pontos.