Progressão Geométrica em Mina de Ouro - Matemática B 11.º Ano (Exame 2014)

Admita que, numa determinada mina de ouro, foi necessário construir um poço, que permitisse um acesso direto às galerias da mina situadas a maior profundidade.
Dadas as características geológicas do subsolo e a complexidade dos trabalhos de escavação, o número de metros escavados em cada dia foi progressivamente diminuindo, até se alcançar a profundidade pretendida.
Sabe-se que:

• no final do primeiro dia de trabalho, o poço ficou com 30 metros de profundidade;
• no segundo dia, foram escavados 28,5 metros (95% de 30 metros), ficando o poço, no final desse dia, com 58,5 metros de profundidade.
Admita que os trabalhos prosseguiram, de modo que, em cada dia, a partir do segundo, a profundidade acrescentada ao poço, em metros, foi 95% da profundidade acrescentada ao poço no dia anterior.
Considere a sequência (pn), em que pn é o número de metros acrescentados à profundidade do poço, no dia de trabalho de ordem n
Quantos metros foram acrescentados à profundidade do poço no décimo dia de trabalho? Apresente o resultado arredondado às décimas.
Na sua resposta, comece por justificar que os termos da sequência (pn) são termos consecutivos de uma progressão geométrica de razão 0,95 Em cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais.

Referir que o número de metros acrescentados à profundidade do poço, no dia de trabalho de ordem n, verifica a igualdade Pn+1 = 0,95 × Pn (ou equivalente) (3 pontos) Reconhecer que o 1.º termo da progressão geométrica é 30 (ou reconhecer que o 2.º termo é 28,5) (1 ponto) Reconhecer que o valor pedido corresponde a P10 (1 ponto) Calcular P10 (5 pontos) Esta etapa pode ser resolvida por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Reconhecer que P10 = P1 × r9 (2 pontos) Escrever P10 = 30 × 0,95⁹ (1 ponto) Obter P10 = 18,9074... (1 ponto) Indicar o valor pedido (18,9) (1 ponto) 2.º Processo Obter P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9 e P10 (ver nota) (4 pontos) Indicar o valor pedido (18,9) (1 ponto) Nota – Deverá ser atribuído 1 ponto por cada conjunto de dois valores corretos.