Admita que, numa determinada mina de ouro, foi necessário construir um poço, que permitisse um acesso direto às galerias da mina situadas a maior profundidade.
Dadas as características geológicas do subsolo e a complexidade dos trabalhos de escavação, o número de metros escavados em cada dia foi progressivamente diminuindo, até se alcançar a profundidade pretendida.
Sabe-se que:
• no final do primeiro dia de trabalho, o poço ficou com 30 metros de profundidade;
• no segundo dia, foram escavados 28,5 metros (95% de 30 metros), ficando o poço, no final desse dia, com 58,5 metros de profundidade.
Admita que os trabalhos prosseguiram, de modo que, em cada dia, a partir do segundo, a profundidade acrescentada ao poço, em metros, foi 95% da profundidade acrescentada ao poço no dia anterior.
Considere a sequência (pn), em que pn é o número de metros acrescentados à profundidade do poço, no dia de trabalho de ordem n
Determine quantos dias de trabalho foram necessários para que a profundidade do poço ultrapassasse 575 metros.
Em cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais.
Reconhecer que o problema se pode traduzir pela condição Sn > 575
(ou equivalente) (3 pontos)
Reconhecer que o 1.º termo da progressão geométrica é 30 (1 ponto)
Escrever o termo geral de (Sn) (30 x (1 - 0,95ⁿ)/(1 - 0,95)) (1 ponto)
Resolver a inequação 30 × (1 - 0,95ⁿ)/(1 - 0,95) > 575 (9 pontos)
Esta etapa pode ser resolvida por, pelo menos, dois processos.
1.º Processo
Obter S61 e S62 (3 + 3) (6 pontos)
Reconhecer que S61 < 575 < S62 (3 pontos)
2.º Processo
Representar graficamente a função S, extensão da sucessão (Sn), definida
por S(x) = 30 × (1 - 0,95ˣ)/(1 - 0,95) cujo domínio seja um intervalo I, relevante
para a resolução do problema, com I ⊂ R₀⁺ (4 pontos)
Respeitar a forma do gráfico (2 pontos)
Respeitar o domínio (2 pontos)
Representar graficamente a reta de equação y = 575 (2 pontos)
Assinalar o ponto de intersecção da reta com o gráfico de S (1 ponto)
Obter a abcissa do ponto de intersecção (61,9584...) (2 pontos)
Indicar o número de dias pedido (62) (1 ponto)