Geometria Analítica em Sangakus: Círculos e Pitágoras (Matemática B 11º Ano 2014)

Os Sangakus são tábuas de madeira, existentes em diversos santuários no Japão, que contêm problemas matemáticos, envolvendo conceitos geométricos.
Os Sangakus mais antigos que se conhecem datam do século XVII.
A Figura 3 apresenta parte de uma tábua Sangaku.
O trabalho elaborado por um dos alunos, representado na Figura 4, consistiu numa pintura alusiva a um dos problemas de uma tábua Sangaku.
A Figura 5 reproduz um esquema elaborado com base na pintura do aluno.
Neste esquema, estão representados, num referencial ortogonal e monométrico xOy:

• a circunferência de centro no ponto C, tangente aos eixos coordenados;
• a circunferência de centro no ponto D, tangente ao eixo Ox e tangente, no ponto P, à circunferência de centro C;
• os pontos A e B, pertencentes a Oy e Ox, respetivamente, tais que a reta AB é tangente à circunferência de centro C;
• o triângulo [AOB];
• o ponto E, interior à circunferência de centro C, tal que [ED] // [OB];
• o triângulo [CED], retângulo em E; O ponto P pertence a [CD] e CP > PD
Admita, agora, que os triângulos [AOB] e [CED] não são semelhantes.
Sejam r e s os raios das circunferências de centros C e D, respetivamente, tais que r×s=9.
Determine ED.
Na sua resposta, percorra, sucessivamente, as seguintes etapas:
– escrever CE e CD em função dos raios das duas circunferências; – aplicar o teorema de Pitágoras ao triângulo [CED] para calcular ED

Escrever CE = r - s (2 pontos) Escrever CD = r + s (2 pontos) Escrever (r+s)² = (r−s)² + ED² (3 pontos) Obter r² + 2rs + s² = r² – 2rs + s² + ED² (ou equivalente) (3 pontos) Obter 4rs = ED² (ou equivalente). (1 ponto) Substituir, na expressão anterior, rs por 9 (2 pontos) Obter ED (6) (2 pontos)