Números Complexos: Desigualdade Modular (Matemática A 12º Ano 2014)

Seja C o conjunto dos números complexos.
Seja z um número complexo tal que |1 + z|² + |1 − z|² ≤ 10.
Mostre que |z| ≤ 2.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Considerar z = a + bi Substituir z por a + bi na expressão | 1 + z |² + |1 − z |² ≤ 10 ................. 1 ponto Referir que | z |² = a² + b² (ou equivalente) ............................................... 2 pontos Obter (1 + a)² + b² + (1 − a)² + b² ≤ 10 ...................................................... 3 pontos Desenvolver (1 + a)² ................................................................................... 2 pontos Desenvolver (1 – a)² ................................................................................... 2 pontos Obter 2 + 2(a² + b²) ≤ 10 ............................................................................... 2 pontos Concluir que |z| ≤ 2 ....................................................................................... 3 pontos 2.º Processo Considerar z z̅ = | z |² Escrever |1 + z |² = (1 + z)(1 + z̅) ................................................................ 2 pontos Escrever |1 − z |² = (1 −z)(1−z̅) ................................................................ 2 pontos Escrever 1 + z̅ = 1 + z̅ ................................................................................. 1 ponto Escrever 1 − z̅ = 1 − z̅ ................................................................................. 1 ponto Escrever (1 + z)(1 + z̅) = 1 + z̅ + z + | z |² .................................................... 3 pontos Escrever (1 − z)(1 − z̅) = 1 − z̅ − z + | z |² ..................................................... 3 pontos Escrever | z |² ≤ 4 ...................................................................................... 2 pontos Concluir o pretendido ................................................................................... 1 ponto