Probabilidade Condicionada - Matemática A 12.º Ano (Exame 2015, 1.ª Fase)

De uma empresa com sede em Coimbra, sabe-se que:

• 60% dos funcionários residem fora de Coimbra;
• os restantes funcionários residem em Coimbra.
Relativamente aos funcionários dessa empresa, sabe-se ainda que:

• o número de homens é igual ao número de mulheres;
• 30% dos homens residem fora de Coimbra.
Escolhe-se, ao acaso, um funcionário dessa empresa.
Qual é a probabilidade de o funcionário escolhido ser mulher, sabendo que reside em Coimbra? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

1.º Processo (através de uma tabela de dupla entrada): Construir uma tabela de dupla entrada cujas entradas sejam o género (homem, mulher) e o local de residência (Coimbra, fora de Coimbra) (1 ponto). Preencher a célula da tabela relativa à informação «60% dos funcionários residem fora de Coimbra» (2 pontos). Preencher as células da tabela relativas à informação «o número de homens é igual ao número de mulheres» (2 pontos). Utilizar a informação «30% dos homens residem fora de Coimbra» para determinar a probabilidade de o funcionário ser homem e residir fora de Coimbra, e colocar o valor obtido na célula respetiva (ver nota: Se o valor apresentado nesta célula for 0,3, a pontuação a atribuir nesta etapa é 0 pontos.) (4 pontos). Preencher as restantes células que permitem resolver o problema (3 pontos). Identificar o pedido com P(M|C), sendo M o acontecimento «o funcionário escolhido é mulher» e C o acontecimento «o funcionário escolhido reside em Coimbra» (1 ponto). Escrever P(M|C) = P(M∩C) / P(C) (1 ponto). Obter P(M|C) (1/8) (1 ponto).
2.º Processo (através de um diagrama em árvore): Construir um diagrama em árvore de cuja raiz saem dois ramos relativos ao género (homem, mulher), saindo de cada um destes dois novos ramos relativos ao local de residência (Coimbra, fora de Coimbra) (2 pontos). Colocar as probabilidades relativas à informação «o número de homens é igual ao número de mulheres» nos respetivos ramos (2 pontos). Colocar a probabilidade relativa à informação «30% dos homens residem fora de Coimbra» no respetivo ramo (2 pontos). Colocar a probabilidade de o funcionário ser homem e residir fora de Coimbra (ver nota) (2 pontos). Colocar a probabilidade de o funcionário ser mulher e residir fora de Coimbra (3 pontos). Colocar a probabilidade de o funcionário ser mulher e residir em Coimbra (1 ponto). OU: Colocar a probabilidade de o funcionário ser homem e residir em Coimbra (1 ponto). Colocar a probabilidade de o funcionário ser mulher e residir em Coimbra (3 pontos). Identificar o pedido com P(M|C), sendo M o acontecimento «o funcionário escolhido é mulher» e C o acontecimento «o funcionário escolhido reside em Coimbra» (1 ponto). Escrever P(M|C) = P(M∩C) / P(C) (1 ponto). Obter P(M|C) (1/8) (1 ponto). (Nota: A pontuação relativa a esta etapa só é atribuída se à etapa anterior não tiverem sido atribuídos 0 pontos).
3.º Processo (aplicando as propriedades das probabilidades): Seja M o acontecimento «o funcionário escolhido é mulher» e seja C o acontecimento «o funcionário escolhido reside em Coimbra». Identificar o pedido com P(M|C) (1 ponto). Reconhecer que P(C) = 0,6 (1 ponto). Obter P(C) (1 ponto). Reconhecer que P(M) = 0,5 (1 ponto). Reconhecer P(M) = 0,5 (1 ponto). Reconhecer que P(C|M) = 0,3 (2 pontos). Determinar P(C∩M) (2 pontos). Determinar P(C∪M) (2 pontos). Escrever P(C∪M) = P(C) + P(M) – P(C∩M) (1 ponto). Determinar P(C∩M) (1 ponto). Escrever P(M|C) = P(M∩C) / P(C) (1 ponto). Obter P(M|C) (1/8) (1 ponto).
4.º Processo (aplicando as propriedades das probabilidades): Seja M o acontecimento «o funcionário escolhido é mulher», seja H o acontecimento «o funcionário escolhido é homem» e seja C o acontecimento «o funcionário escolhido reside em Coimbra». Identificar o pedido com P(M|C) (1 ponto). Reconhecer que P(C) = 0,6 ou P(C) = 0,4 (2 pontos). Reconhecer que P(M) = 0,5 ou P(H) = 0,5 (2 pontos). Reconhecer que P(C|H) = 0,3 (2 pontos). Determinar P(C∩H) (2 pontos). Escrever P(H) = P(C∩H) + P(C∩H) (1 ponto). Determinar P(C∩H) (1 ponto). Escrever P(C) = P(C∩H) + P(C∩M) (1 ponto). Determinar P(C∩M) (1 ponto). OU Escrever P(C) = P(C∩M) + P(C∩H) (1 ponto). Determinar P(C∩M) (1 ponto). Escrever P(M) = P(C∩M) + P(C∩M) (1 ponto). Determinar P(C∩M) (1 ponto). Escrever P(M|C) = P(M∩C) / P(C) (1 ponto). Obter P(M|C) (1/8) (1 ponto).