Minimização de Distância: Cálculo Diferencial (Matemática A 12º Ano 2015)

Na Figura 3, está representado um recipiente cheio de um líquido viscoso.
Tal como a figura ilustra, dentro do recipiente, presa à sua base, encontra-se uma esfera.
Essa esfera está ligada a um ponto P por uma mola esticada.
Num certo instante, a esfera é desprendida da base do recipiente e inicia um movimento vertical.
Admita que, t segundos após esse instante, a distância, em centímetros, do centro da esfera ao ponto P é dada por d(t) = 10 + (5 - t)e⁻⁰'⁰⁵ᵗ (t ≥ 0).
Determine o instante em que a distância do centro da esfera ao ponto P é mínima, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Determinar d'(t) (ver nota 1: Se for evidente a intenção de determinar a expressão da derivada da função, a pontuação mínima a atribuir nesta etapa é de 1 ponto.) (3 pontos), sendo: Aplicar a regra de derivação do produto de duas funções (1 ponto); Escrever d'(t)= -e^(-0,05t) – 0,05(5 - t)e^(-0,05t) (2 pontos). Escrever a equação d'(t)=0 (1 ponto). Resolver a equação d'(t)=0 (5 pontos), sendo: Escrever d'(t)=0 ⇔ e^(-0,05t) (-1-0,05(5-t)) = 0 (2 pontos); Escrever e^(-0,05t) (-1-0,05(5-t)) = 0 ⇔ −1 – 0,05(5-t) = 0 (2 pontos); Concluir que d'(t)=0 ⇔ t=25 (1 ponto). Justificar que a distância do centro da esfera ao ponto P é mínima para t = 25 (5 pontos). Opções para Justificar:
Opção 1: Apresentar um quadro de sinal de d' e de monotonia de d (ver nota 2: Se, na primeira linha do quadro, a resposta apresentar -∞, em vez de 0, a pontuação máxima a atribuir nesta etapa é de 3 pontos.) (4 pontos). Indicar o valor de t para o qual a função é mínima (1 ponto).
OU
Opção 2: Referir que, como a função d tem derivada finita em R+ e como 25 é o único zero da função d', o mínimo da função d só pode ser atingido para t = 0 ou para t = 25 (2 pontos). Referir que d(25) < d(0) (3 pontos). Apresentar a resposta (25 segundos) (1 ponto).