Assíntotas Verticais e Limites: Matemática A 12º Ano (Exame 2015)

Seja f a função, de domínio R, definida por f(x) = { (e^(x - √e)) / (2x - 1) se x < 1/2 ; (x+1) ln x se x ≥ 1/2.
Resolva os itens 4.
1.
e 4.
2.
recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Averigue da existência de assíntotas verticais do gráfico da função f

Justificar que apenas a reta de equação x = 1/2 pode ser assíntota vertical do gráfico de f (2 pontos). Determinar lim f(x) (x→(1/2)⁻) (10 pontos). Este limite pode ser determinado por, pelo menos, quatro processos.
1.º Processo: Escrever lim f(x) = lim (e^(x-√e))/(2x-1) (x→(1/2)⁻) (1 ponto). Escrever lim (e^(x-√e))/(2x-1) = lim (e^(x-√e) - e^(1/2-√e))/(2x-1) (x→(1/2)⁻) (1 ponto). Escrever lim (e^(x-√e) - e^(1/2-√e))/(2x-1) = lim (e^(x-√e) - e^(1/2-√e))/(2(x-1/2)) (x→(1/2)⁻) (1 ponto). Escrever lim (e^(x-√e) - e^(1/2-√e))/(2(x-1/2)) = lim (e^(1/2-√e)/2) * (e^(x-1/2) - 1)/(x-1/2) (x→(1/2)⁻) (2 pontos). Escrever lim (e^(1/2-√e)/2) * (e^(x-1/2) - 1)/(x-1/2) = (e^(1/2-√e)/2) * lim (e^(y) - 1)/y (y=x-1/2 → 0⁻) (ver nota 1: Se for referido que x → (1/2)⁻ é equivalente a x-1/2 → 0⁻, esta etapa deve ser considerada como cumprida.) (2 pontos). Reconhecer o limite notável lim (e^x - 1)/x = 1 (x→0) (1 ponto). Obter o valor de lim f(x) (e^(1/2-√e)/2) (x→(1/2)⁻) (1 ponto).
2.º Processo: Escrever lim f(x) = lim (e^(x-√e))/(2x-1) (x→(1/2)⁻) (1 ponto). Escrever lim (e^(x-√e))/(2x-1) = lim (e^(y+1/2-√e))/(2y) (y=x-1/2 → 0⁻) (3 pontos). Escrever lim (e^(y+1/2-√e))/(2y) = lim (e^(1/2-√e)/2) * (e^y - 1)/y (y→0⁻) (1 ponto). Escrever lim (e^(1/2-√e)/2) * (e^y - 1)/y = lim (e^(1/2-√e)/2) * (e^y - 1)/y (y→0⁻) (2 pontos). Escrever lim (e^(1/2-√e)/2) * (e^y - 1)/y = (e^(1/2-√e)/2) * lim (e^y - 1)/y (y→0⁻) (1 ponto). Reconhecer o limite notável lim (e^x - 1)/x = 1 (x→0) (1 ponto). Obter o valor de lim f(x) (e^(1/2-√e)/2) (x→(1/2)⁻) (1 ponto).
3.º Processo: Escrever lim f(x) = lim (e^(x-√e))/(2x-1) (x→(1/2)⁻) (1 ponto). Escrever lim (e^(x-√e))/(2x-1) = lim (e^(x-e^(1/2)))/(2x-1) (x→(1/2)⁻) (1 ponto). Escrever lim (e^(x-e^(1/2)))/(2x-1) = lim (e^(x-e^(1/2)))/(2(x-1/2)) (x→(1/2)⁻) (1 ponto). Escrever lim (e^(x-e^(1/2)))/(2(x-1/2)) = (1/2) * lim (e^(x-e^(1/2)))/(x-1/2) (x→(1/2)⁻) (1 ponto). Referir que lim (e^(x-e^(1/2)))/(x-1/2) = h'(1/2), sendo h a função definida por h(x) = e^x (3 pontos). Referir que h'(1/2)=e^(1/2) (2 pontos). Concluir que (1/2) * lim (e^(x-e^(1/2)))/(x-1/2) = e^(1/2)/2 (x→(1/2)⁻) (1 ponto).
4.º Processo: Escrever lim f(x) = lim (e^(x-√e))/(2x-1) (x→(1/2)⁻) (1 ponto). Escrever lim (e^(x-√e))/(2x-1) = lim (e^(x-e^(1/2)))/(2x-1) (x→(1/2)⁻) (1 ponto). Escrever lim (e^(x-e^(1/2)))/(2x-1) = lim (e^(x-e^(1/2)))/(2(x-1/2)) (x→(1/2)⁻) (1 ponto). Escrever lim (e^(x-e^(1/2)))/(2(x-1/2)) = lim (e^x * (1 - e^(1/2-x)))/(2(x-1/2)) (x→(1/2)⁻) (1 ponto). Escrever lim (e^x * (1 - e^(1/2-x)))/(2(x-1/2)) = lim e^x / 2 * lim (1 - e^(1/2-x))/(x-1/2) (x→(1/2)⁻) (2 pontos). Escrever lim e^x / 2 * lim (1 - e^(1/2-x))/(x-1/2) = e^(1/2)/2 * lim (1 - e^y)/(-y) (y=1/2-x → 0⁺) (ver nota 2: Se for referido que x → (1/2)⁻ é equivalente a 1/2 - x → 0⁺, esta etapa deve ser considerada como cumprida.) (1 ponto). Escrever e^(1/2)/2 * lim (1 - e^y)/(-y) = e^(1/2)/2 * lim (e^y - 1)/y (y→0⁺) (1 ponto). Reconhecer o limite notável lim (e^x - 1)/x = 1 (x→0) (1 ponto). Obter o valor de lim f(x) (e^(1/2)/2) (x→(1/2)⁻) (1 ponto).
OU (Cálculo do limite à direita): Escrever lim f(x) = (3/2) ln(1/2) (x→(1/2)⁺) (2 pontos). Referir que a função f é contínua à direita em 1/2 (1 ponto). Concluir que o gráfico da função f não tem qualquer assíntota vertical (1 ponto).