Seja f a função, de domínio R, definida por f(x) = { (e^(x - √e)) / (2x - 1) se x < 1/2 ; (x+1) ln x se x ≥ 1/2.
Resolva os itens 4.
1.
e 4.
2.
recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, no intervalo ]½, +∞[.
Na sua resposta, apresente:
• o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo;
• o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima;
• as coordenadas do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f
Determinar f'(x) em ]1/2, +∞[ (3 pontos), sendo: Aplicar a regra de derivação do produto (1 ponto); Obter f'(x) (2 pontos). Determinar f''(x) em ]1/2, +∞[ (ver nota 1: Se for evidente a intenção de determinar a segunda derivada da função, a pontuação mínima a atribuir nesta etapa é de 1 ponto.) (3 pontos). Determinar o zero de f'' em ]1/2, +∞[ (2 pontos), sendo: Escrever f''(x) = 0 (1 ponto); Obter o zero de f'' em ]1/2, +∞[ (1 ponto). Estudar a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, no intervalo ]1/2, +∞[ (7 pontos), sendo: Apresentar um quadro de sinal de f'' e de sentido da concavidade do gráfico de f (ou equivalente) (ver nota 2: Se, na primeira linha do quadro, a resposta apresentar -∞, em vez de 1/2, a pontuação máxima a atribuir nesta etapa é de 2 pontos.) (3 pontos); Referir que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo em ]1/2, 1] (ver nota 3: Se for referido que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo em [1/2, 1], em vez de ]1/2, 1], esta etapa deve ser considerada como cumprida.) (1 ponto); Referir que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima em ]1, +∞[ (ver nota 4: Se for referido que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima em [1, +∞[, em vez de ]1, +∞[, esta etapa deve ser considerada como cumprida.) (1 ponto); Indicar as coordenadas do ponto de inflexão do gráfico da função f em ]1/2, +∞[ ((1, 0)) (2 pontos).