Funções e Bolzano: Exame Matemática A 12º Ano 2015 (1.ª Fase)

Seja f a função, de domínio R, definida por f(x) = { (e^(x - √e)) / (2x - 1) se x < 1/2 ; (x+1) ln x se x ≥ 1/2.
Resolva os itens 4.
1.
e 4.
2.
recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Mostre que a equação f(x) = 3 é possível em ]1, e[ e, utilizando a calculadora gráfica, determine a única solução desta equação, neste intervalo, arredondada às centésimas.
Na sua resposta:

• recorra ao teorema de Bolzano para provar que a equação f(x) = 3 tem, pelo menos, uma solução no intervalo ]1, e[
• reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na calculadora, devidamente identificado(s);
• apresente a solução pedida.

Justificar que a equação f(x) = 3 tem, pelo menos, uma solução em ]1, e[ (6 pontos), sendo: Referir que a função f é contínua em [1, e] (ver nota 1: Se for referido que a função é contínua em ]1, e[, a pontuação a atribuir nesta etapa é 0 pontos. A mesma pontuação deve ser atribuída se apenas for referido que a função é contínua.) (1 ponto); Calcular f(1) (1 ponto); Calcular f(e) (1 ponto); Referir que f(1)<3 1/2, o gráfico da função definida por y = e^(x-√e)/(2x-1), independentemente de estarem, ou não, desenhados outros gráficos, a pontuação a atribuir nesta etapa é 0 pontos. Nota 4: Se for apresentado apenas o gráfico da função, para x > 1/2, e não for apresentada a solução pedida, a pontuação a atribuir nesta etapa é 2 pontos.). Apresentar a solução pedida (2, 41) (5 pontos).