Geometria Analítica: Equação de Esfera (Diâmetro) | Matemática A 12º Ano 2015

Considere, num referencial o.
n.
Oxyz, os pontos A(0,0,2) e B(4,0,0)
Determine uma equação cartesiana que defina a superfície esférica da qual o segmento de reta [AB] é um diâmetro.

1.º Processo: Determinar $\vec{AB}$ (2 pontos). Obter o raio da superfície esférica (1 ponto). Determinar as coordenadas do ponto médio do segmento de reta $[AB]$ (2 pontos). Escrever a condição $(x-2)² + y² + (z-1)² = 5$ (ou equivalente) (ver notas 1 e 2) (5 pontos). Notas: 1. A escrita de $\sqrt{5}$, em vez de 5, implica uma desvalorização de 2 pontos nesta etapa. 2. A escrita de $\leq$, em vez de $=$, implica uma desvalorização de 2 pontos nesta etapa. A escrita de $<$ ou de $>$ ou de $\geq$ implica uma desvalorização de 3 pontos nesta etapa.
2.º Processo: Seja $P(x, y, z)$ um ponto genérico da superfície esférica. Determinar as coordenadas do vetor $\vec{AP}$ (2 pontos). Determinar as coordenadas do vetor $\vec{BP}$ (2 pontos). Escrever $\vec{AP} \cdot \vec{BP} = 0$ (3 pontos). Escrever a condição $x² + y² + z² – 4x - 2z = 0$ (ou equivalente) (3 pontos).