Geometria Analítica: Ângulo entre Vetores (Matemática A 12º Ano 2015)

Considere, num referencial o.
n.
Oxyz, os pontos A(0,0,2) e B(4,0,0)
Seja P o ponto pertencente ao plano xOy tal que:

• a sua abcissa é igual à abcissa do ponto B
• a sua ordenada é positiva;
• BÂP = π/3.
Determine a ordenada do ponto P

1.º Processo: Seja y a ordenada do ponto P. Escrever P(4, y, 0) (2 pontos). Determinar as coordenadas do vetor $\vec{AB}$ (1 ponto). Determinar as coordenadas do vetor $\vec{AP}$ (1 ponto). Calcular $\vec{AB} \cdot \vec{AP}$ (2 pontos). Determinar a norma do vetor $\vec{AB}$ (1 ponto). Determinar a norma do vetor $\vec{AP}$, em função de y (2 pontos). Escrever a equação $20 = \sqrt{20} \times \sqrt{20+y²} \times \frac{1}{2}$ (ou equivalente) (3 pontos). Obter o valor de y (\sqrt{60}) (3 pontos).
2.º Processo: Justificar que o triângulo $[ABP]$ é retângulo em B (5 pontos). Determinar $|\vec{AB}|$ (\sqrt{20}) (2 pontos). Escrever $\text{tg } \frac{\pi}{3} = \frac{|\vec{BP}|}{|\vec{AB}|}$ (5 pontos). Escrever $\sqrt{3} = \frac{|\vec{BP}|}{\sqrt{20}}$ (1 ponto). Obter a ordenada de P (\sqrt{60}) (2 pontos).