Matemática A 12.º Ano (2016, 1.ª Fase): Amplitude de Oscilação (Máximos e Mínimos)

Num dia de vento, são observadas oscilações no tabuleiro de uma ponte suspensa, construída sobre um vale.
Mediu-se a oscilação do tabuleiro da ponte durante um minuto.
Admita que, durante esse minuto, a distância de um ponto P do tabuleiro a um ponto fixo do vale é dada, em metros, por h(t) = 20 + 1/(2π) cos(2πt) + t sen(2πt) (t é medido em minutos e pertence a [0,1])
Sejam M e m, respetivamente, o máximo e o mínimo absolutos da função h no intervalo [0,1] A amplitude A da oscilação do tabuleiro da ponte, neste intervalo, é dada por A = M - m Determine o valor de A, recorrendo a métodos analíticos e utilizando a calculadora apenas para efetuar eventuais cálculos numéricos.
Apresente o resultado em metros.

Determinar h'(t) (ver nota) (3 pontos) Determinar os zeros de h' em [0,1] (5 pontos) Escrever h'(t) = 0 (1 ponto) Obter os zeros de h' em [0,1] (4 pontos) Apresentar um quadro de sinal de h' e de monotonia de h (ou equivalente) (2 pontos) Determinar h(0), h(1/4), h(3/4) e h(1) (4 pontos) Obter o valor de A (1) (1 ponto) Nota – Se for evidente a intenção de determinar a derivada da função, a pontuação mínima a atribuir nesta etapa é 1 ponto.