Estudo de Concavidade e Pontos de Inflexão | Matemática A 12º Ano 2016

Seja f uma função, de domínio R, cuja derivada, f', de domínio R, é dada por f'(x) = eˣ (x² + x + 1) Resolva os itens 5.
1.
e 5.
2.
recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.
Na sua resposta, apresente:
- o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo; - o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima; - a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f

Determinar f''(x) (ver nota 1) (4 pontos) Aplicar a regra de derivação do produto (1 ponto) Obter f''(x) (3 pontos) Determinar os zeros de f'' (5 pontos) Escrever f''(x) = 0 (1 ponto) Obter os zeros de f'' (4 pontos) Estudar a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão (6 pontos) Apresentar um quadro de sinal de f'' e de sentido da concavidade do gráfico de f (ou equivalente) (2 pontos) Referir que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima em ]-∞, -2[ e em ]-1,+∞[ (ver nota 2) (1 ponto) Referir que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo em ]-2, -1[ (ver nota 3) (1 ponto) Indicar as abissas dos pontos de inflexão do gráfico da função f (-2 e -1) (2 pontos) Notas: 1. Se for evidente a intenção de determinar a segunda derivada da função, a pontuação mínima a atribuir nesta etapa é 1 ponto. 2. Se for referido que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima em ]-∞, -2] e em [-1,+∞[, em vez de em ]-∞, -2[ e em ]-1,+∞[, esta etapa é considerada como cumprida. 3. Se for referido que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo em [-2, -1], em vez de em ]-2, -1[, esta etapa é considerada como cumprida.