Funções Exponenciais e Logarítmicas: Reta Secante e Simetria (Matemática A 12º Ano 2016)

Considere a função f, de domínio ]-∞, -1[ ∪ ]1, +∞[, definida por f(x) = ln(|(x-1)/(x+1)|) Resolva os itens 6.
1.
e 6.
2.
recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Seja a um número real maior do que 1 Mostre que a reta secante ao gráfico de f nos pontos de abcissas a e -a passa na origem do referencial.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, três processos. 1.º Processo Seja A o ponto da reta de abcissa a, e seja B o ponto da reta de abcissa −a Escrever as coordenadas de A e as coordenadas de B, em função de a (1 ponto) Obter o declive, m, da reta AB, em função de a (2 pontos) Escrever a condição y = mx + b, com m em função de a (1 ponto) Obter o valor de b (0) (5 pontos) Concluir o pretendido (1 ponto) 2.º Processo Seja A o ponto da reta de abcissa a, seja B o ponto da reta de abcissa −a, e seja M o ponto médio do segmento de reta [AB] Escrever as coordenadas de A e as coordenadas de B, em função de a (1 ponto) Mostrar que o ponto M é a origem do referencial (8 pontos) Obter o valor da abcissa (0) (1 ponto) Escrever a ordenada, em função de a [ln(|(a-1)/(a+1)| + ln(|(-a-1)/(-a+1)|)] / 2 (2 pontos) Obter o valor da ordenada (0) (5 pontos) Concluir o pretendido (1 ponto) 3.º Processo Provar que a função f é ímpar (4 pontos) Referir que os pontos do gráfico de f de abcissas a e −a são simétricos relativamente à origem do referencial (5 pontos) Concluir o pretendido (1 ponto)