Continuidade de Funções Definidas por Ramos - Matemática A 12º Ano (Exame 2018)

Seja g a função, de domínio ]−∞,π], definida por
g(x) =
{ (e^(2x) - 1) / 4x se x < 0
{ 1 / (2 - sen(2x)) se 0 ≤ x ≤ π
Averigue se a função g é contínua no ponto 0
Justifique a sua resposta.

Determinar $\lim_{x \to 0^-} g(x)$ (5 pontos)
Escrever $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{2x} - 1}{4x}$ (1 ponto)
Escrever $\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{2x} - 1}{4x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{2x} - 1}{2x}$ (2 pontos)
Escrever $\frac{1}{2} \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{2x} - 1}{2x} = \frac{1}{2} \lim_{y \to 0^-} \frac{e^{y} - 1}{y}$ (1 ponto)
Obter $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \frac{1}{2}$ (1 ponto)
Determinar $\lim_{x \to 0^+} g(x)$ (2 pontos)
Escrever $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2 - \text{sen}(2x)}$ (1 ponto)
Obter $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \frac{1}{2}$ (1 ponto)
Obter $g(0) = \frac{1}{2}$ (2 pontos)
Justificar a continuidade da função $g$ no ponto 0 («A função $g$ é contínua no ponto 0, porque existe $\lim_{x \to 0} g(x)$» OU «A função $g$ é contínua no ponto 0, porque $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = g(0)$») (4 pontos)